Calculadora de combinação linear

Multiplique dois vetores por escalares e some as componentes correspondentes.

Calcular uma combinação linear
Insira vetores de mesma dimensão com valores separados por vírgulas.

Sobre combinações lineares

Uma combinação linear é formada multiplicando vetores por números escalares e somando os vetores resultantes. Para dois vetores v1 e v2 com escalares a e b, a expressão é av1 + bv2. Esta calculadora realiza a operação componente a componente. Se v1 é (x1, y1, z1) e v2 é (x2, y2, z2), o resultado é (ax1 + bx2, ay1 + by2, az1 + bz2). A mesma regra vale para vetores de qualquer dimensão finita, desde que ambos tenham o mesmo número de componentes. Os escalares controlam o tamanho e o sentido de cada contribuição. Um escalar maior que um alonga o vetor, um valor entre zero e um o encurta, e um escalar negativo inverte seu sentido. Um escalar zero elimina totalmente a contribuição daquele vetor. Como a soma combina posições correspondentes, um vetor bidimensional não pode ser combinado diretamente com um tridimensional. A calculadora detecta dimensões incompatíveis e solicita entradas adequadas, em vez de descartar uma componente. As combinações lineares são centrais na álgebra linear. O espaço gerado por um conjunto de vetores reúne todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Um vetor pertence a esse espaço quando alguma escolha de coeficientes escalares o reproduz. Vetores de uma base são especialmente úteis, pois cada vetor do espaço pode ser expresso como uma combinação linear única quando a base é linearmente independente. Sistemas de coordenadas, multiplicação de matrizes, sistemas de equações, mistura de sinais, computação gráfica e modelos de dados usam essa ideia. Para conferir um resultado, multiplique cada componente do primeiro vetor pelo primeiro escalar, faça o mesmo com o segundo vetor e some os produtos correspondentes. Mantenha a ordem das componentes durante todo o cálculo. Valores decimais e negativos são permitidos, e o resultado exibido é arredondado apenas para facilitar a leitura. Para combinar mais de dois vetores, calcule os dois primeiros e use o resultado como uma entrada no cálculo seguinte com o próximo vetor. Esse processo repetido segue a propriedade associativa da adição vetorial e produz o mesmo vetor final.

Exemplos

Cada linha aplica a multiplicação por escalar antes da adição vetorial.

ExpressãoResultadoInterpretação
2(1, 2, 3) - (4, 5, 6)(-2, -1, 0)Subtraia o segundo vetor do dobro do primeiro.
3(2, -1) + 0.5(4, 6)(8, 0)As duas somas de componentes são calculadas separadamente.
-2(1, 0) + 4(0, 1)(-2, 4)Os vetores da base canônica definem cada coordenada.

Como usar a calculadora

  1. Insira o multiplicador do primeiro vetor.
  2. Insira o primeiro vetor com as componentes separadas por vírgulas.
  3. Insira o segundo escalar e um segundo vetor de mesma dimensão.
  4. Selecione Calcular combinação para somar as componentes multiplicadas.

Perguntas frequentes

O que é um escalar?

Um escalar é um número comum que multiplica cada componente de um vetor. Ele altera a magnitude do vetor e pode inverter seu sentido.

Os vetores precisam ter a mesma dimensão?

Sim, a adição vetorial associa componentes correspondentes. Vetores com quantidades diferentes de componentes não têm uma soma padrão componente a componente.

Os coeficientes podem ser negativos ou decimais?

Sim, qualquer número real finito pode ser usado como escalar. Valores negativos invertem o sentido, enquanto decimais ajustam a escala proporcionalmente.

O que um coeficiente zero faz?

Multiplicar um vetor por zero produz o vetor nulo. Portanto, esse vetor não contribui para a combinação final.

Qual é a relação com o espaço gerado?

O espaço gerado é o conjunto completo de vetores obtidos com todas as escolhas de coeficientes. Cada resultado desta calculadora pertence ao espaço gerado pelos dois vetores de entrada.