Calculadora de independência linear

Um conjunto de vetores é linearmente independente quando os únicos coeficientes que fazem sua combinação linear resultar no vetor nulo são todos zero. Para três vetores v1, v2 e v3, independência significa que c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 implica c1 = c2 = c3 = 0. Se alguma escolha de coeficientes não todos nulos também produz o vetor nulo, o conjunto é linearmente dependente. Na prática, um vetor dependente não acrescenta uma nova direção, pois pode ser escrito como combinação dos demais. Esta calculadora coloca os três vetores de entrada em uma matriz e usa eliminação de Gauss para determinar seu posto. Operações elementares nas linhas revelam o número de posições de pivô sem alterar as relações lineares entre os vetores. Quando o posto é igual ao número de vetores, cada vetor contribui com um novo pivô e o conjunto é independente. Quando o posto é menor que três, pelo menos um vetor é redundante e o conjunto é dependente. Os vetores devem ter a mesma dimensão, pois as componentes precisam ocupar posições de coordenadas consistentes. A dimensão impõe um limite imediato. Três vetores em um espaço bidimensional devem ser dependentes, pois a matriz correspondente pode ter posto no máximo dois. Em três ou mais dimensões, três vetores podem ser independentes, mas isso não é garantido. Os conhecidos vetores da base canônica (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) são independentes. Já (1, 2, 3) e (2, 4, 6) apontam na mesma reta, de modo que qualquer conjunto contendo ambos já inclui uma relação direta de múltiplo escalar. A independência linear determina se as coordenadas são únicas, se uma matriz pode ser invertível e se equações contêm informações redundantes. É fundamental na resolução de sistemas, construção de bases, análise de transformações, ajuste de modelos e separação de sinais. Para interpretar a saída, compare o posto informado com o número de vetores de entrada. Posto completo igual a três confirma independência; qualquer posto menor confirma dependência. São aceitos valores decimais, mas números extremamente próximos de zero são tratados como zero numérico para impedir que arredondamentos de ponto flutuante criem pivôs falsos.