Calculadora de ângulo entre dois vetores - 2D e 3D

O ângulo entre dois vetores é uma quantidade fundamental em álgebra linear e geometria que expressa a separação angular entre duas quantidades direcionais colocadas ponta a ponta em uma origem comum. Ao contrário dos ângulos entre linhas na geometria euclidiana clássica, o ângulo entre os vetores é sempre o menor dos dois ângulos possíveis, restrito ao intervalo de 0° a 180° (ou 0 a π radianos). Esta convenção garante um resultado único e inequívoco para qualquer par de vetores diferentes de zero. O cálculo baseia-se no produto escalar, uma das operações mais importantes da álgebra linear. Para dois vetores A e B, o produto escalar é definido algebricamente como a soma dos produtos de seus componentes correspondentes: A · B = Ax·Bx + Ay·By em duas dimensões, ou A · B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz em três dimensões. O produto escalar também tem uma interpretação geométrica: A · B = |A| × |B| × cos(θ), onde |A| e |B| são as magnitudes (comprimentos) euclidianas dos vetores e θ é o ângulo entre eles. Combinar essas duas definições e resolver θ fornece a fórmula fundamental: θ = arccos((A · B) / (|A| × |B|)). Esta fórmula possui diversas propriedades elegantes. Se o produto escalar for zero, então cos(θ) = 0, o que significa θ = 90°, e os vetores são perpendiculares (ortogonais). Se o produto escalar for igual ao produto das magnitudes, então cos(θ) = 1 e θ = 0°, o que significa que os vetores apontam na mesma direção (paralelo). Se o produto escalar for igual ao produto negativo das magnitudes, então cos(θ) = −1 e θ = 180°, o que significa que os vetores apontam em direções opostas (antiparalelo). A fórmula generaliza naturalmente para espaços n-dimensionais simplesmente estendendo as somas dos componentes. Ângulos entre vetores surgem em toda a física e engenharia. Na mecânica clássica, o trabalho realizado por uma força F sobre um deslocamento d é W = F · d = |F| × |d| × cos(θ), onde θ é o ângulo entre os vetores força e deslocamento. Quando θ = 0° a força está totalmente alinhada com o movimento e realiza trabalho máximo; quando θ = 90° a força é perpendicular ao movimento e realiza trabalho zero. Na computação gráfica, a iluminação de superfície usa o ângulo entre a normal da superfície e a direção da luz que entra para calcular o quão intensamente uma superfície é iluminada por meio da lei do cosseno de Lambert. No aprendizado de máquina, a similaridade de cosseno entre dois vetores de características está diretamente relacionada ao ângulo entre eles e mede o quão semelhantes são suas direções, independentemente da magnitude. Numericamente, a função arccos pode perder precisão quando seu argumento está muito próximo de 1 or −1 (correspondendo a vetores quase paralelos ou antiparalelos). Em software de alta precisão, isso é feito fixando o argumento cosseno ao intervalo válido [−1, 1] antes de passá-lo para arccos, o que esta calculadora faz automaticamente. Para problemas 2D onde um ângulo sinalizado é necessário (distinguindo sentido horário de anti-horário), a função atan2 com o produto vetorial é preferida à abordagem do produto escalar, embora esta calculadora relate o ângulo sem sinal consistente com a definição matemática.