Calculadora de Arctan - Função Tangente Inversa
Calcule a tangente inversa (arctan) de qualquer número real e obtenha o ângulo em graus ou radianos instantaneamente.
Digite qualquer número real, escolha graus ou radianos e calcule o ângulo cuja tangente é igual a esse valor.
Calculadora de Arctan - Função Tangente Inversa
Calcule a tangente inversa (arctan) de qualquer número real e obtenha o ângulo em graus ou radianos instantaneamente.
Domínio: todos os números reais (-∞ a ∞)
Sobre a calculadora de arctan
A função tangente inversa, escrita arctan(x) ou tan⁻¹(x), é o inverso da função tangente. Dado qualquer número real x, arctan(x) retorna o ângulo θ cuja tangente é igual a x. Ao contrário do arco seno e arco cosseno, a tangente inversa é definida para todos os números reais — não há restrição de domínio — porque a função tangente assume todos os valores reais à medida que x varia de -90° a 90° .A saída do arctan está no intervalo aberto (-90°, 90°) para graus, ou (-π/2, π/2) para radianos.
Note que esses pontos finais são excluídos: arctan nunca é exatamente ±90° porque a função tangente tende ao infinito à medida que o ângulo se aproxima desses limites, ou seja, nenhum x finito dá um resultado de 90°.
À medida que x → ∞, arctan(x) → 90°, e à medida que x → -∞, arctan(x) → -90° .Arctan é a mais usada das funções trigonométricas inversas, aparecendo em uma enorme variedade de aplicações. Em geometria, se você conhece os comprimentos dos lados oposto e adjacente de um triângulo retângulo, o ângulo é arctan(oposto/adjacente). Por exemplo, uma inclinação de 1 (subida igual à base) corresponde a um ângulo de arctan(1) = 45°.
Uma inclinação de 2 dá arctan(2) ≈ 63.43°.Em gráficos de computador e desenvolvimento de jogos, a arctan é usada para encontrar o ângulo de um vetor 2D a partir de seus componentes x e y. A função atan2(y, x) (disponível em praticamente todas as linguagens de programação) estende a arctan para lidar com os quatro quadrantes verificando os sinais de ambos os componentes, retornando valores na faixa completa (-180°, 180°] .
Em processamento de sinais e teoria de controle, a arctan aparece em cálculos de fase: a fase de um número complexo a + bi é arctan(b/a). Em navegação, a direção entre duas coordenadas geográficas é calculada usando arctan das diferenças de longitude e latitude. Em física, o ângulo de um pêndulo ou de um raio refratado envolve arctan em sua forma exata .
Valores-chave: arctan(0) = 0°, arctan(1) = 45°, arctan(-1) = -45°, arctan(√3) = 60°, arctan(1/√3) = 30°. Esses valores surgem dos triângulos padrão e valem a pena memorizar. A função é ímpar — arctan(-x) = -arctan(x) — então os valores negativos são simplesmente os negativos dos ângulos positivos correspondentes .
A relação entre arctan e π é famosa na matemática. A fórmula de Leibniz para π afirma: π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... = arctan(1). Fórmulas mais eficientes como a fórmula de Machin π/4 = 4·arctan(1/5) - arctan(1/239) foram historicamente usadas para calcular muitos dígitos de π manualmente.
Exemplos de arctan
Valores de entrada clássicos cobrindo os pontos-chave na curva da arctangente.
| Entrada | arctan(x) | Explicação |
|---|---|---|
| arctan(0) | 0° = 0 rad | A tangente de 0° é 0, então arctan(0) = 0. A origem da curva da arctan. |
| arctan(1) | 45° ≈ 0.7854 rad | A tangente de 45° é 1. Uma inclinação de 1 (subida igual à corrida) corresponde a um ângulo de 45°. |
| arctan(1.7321) | 60° ≈ 1.0472 rad | arctan(√3) = 60°. Surge do triângulo 30-60-90 onde a tangente de 60° é igual a √3 ≈ 1.7321. |
| arctan(-1) | -45° ≈ -0.7854 rad | Entrada negativa dá um ângulo negativo. arctan(-1) = -45°, ilustrando a simetria da função ímpar. |
Como usar a calculadora de arctan
- Digite qualquer número real no campo Valor de Entrada (x). Diferente de arcsin e arccos, arctan aceita todos os números reais sem restrição de domínio.
- Selecione a Unidade de Saída: clique em Graus para receber o resultado em graus, ou Radianos para o resultado em radianos.
- Clique em Calcular Arctan para computar a tangente inversa. O resultado está no intervalo (-90°, 90°) para graus.
- O painel de resultado mostra arctan(x) = resultado, juntamente com a fórmula subjacente para referência.
- Clique em Redefinir para limpar a entrada e calcular um novo valor.
FAQ do calculador de Arctan
Qual é o domínio de arctan?
O domínio de arctan é todos os números reais (-∞, ∞). Porque a função tangente assume todos os valores reais enquanto seu argumento varia em (-90°, 90°), não há restrição de entrada. Você pode calcular arctan de números muito grandes (arctan(1000) ≈ 89.943°) ou números muito negativos (arctan(-1000) ≈ -89.943°).
Por que arctan nunca atinge exatamente ±90°?
A função tangente se aproxima de ±∞ quando o ângulo se aproxima de ±90°. Trabalhando ao contrário, para obter arctan(x) = 90°, você precisaria de x = tan(90°) = ∞. Como infinito não é um número real finito, arctan nunca alcança exatamente ±90°. Ele se aproxima desses limites de forma assintótica à medida que x aumenta em magnitude.
Qual é a diferença entre arctan e atan2?
arctan(y/x) retorna apenas ângulos em (-90°, 90°) e não consegue distinguir quadrantes opostos — os vetores (1,1) e (-1,-1) ambos resultam em uma razão de 1. A função atan2(y, x) considera y e x separadamente e retorna ângulos no intervalo completo (-180°, 180°], colocando corretamente o resultado no quadrante certo. Use atan2 para ângulos de vetores em programação.
Como o arctan é usado para encontrar o ângulo de inclinação de uma linha?
A inclinação m de uma linha é subida/corrida = tan(θ), então o ângulo de inclinação é θ = arctan(m). Para uma linha com inclinação de 0.5, o ângulo é arctan(0.5) ≈ 26.57°. Uma linha vertical tem inclinação indefinida (tangente infinita) e uma inclinação de 90°, que o arctan se aproxima, mas nunca atinge para entrada finita.
Arctan é ímpar ou par?
Arctan é uma função ímpar: arctan(-x) = -arctan(x). Isso reflete o fato de que a função tangente também é ímpar: tan(-θ) = -tan(θ). Na prática, isso significa que se você sabe que arctan(2) ≈ 63.43°, você imediatamente sabe que arctan(-2) ≈ -63.43° sem qualquer cálculo adicional.
Qual é a derivada do arctan?
A derivada de arctan(x) em relação a x é 1/(1 + x²). Esta derivada relativamente simples torna o arctan útil em cálculo integral: a integral de 1/(1 + x²) dx é igual a arctan(x) + C. Esta integral aparece frequentemente em problemas envolvendo funções racionais e na derivação da expansão em série de π.