Calculadora de distribuição uniforme - PDF, CDF e média
Calcule a função densidade de probabilidade, a função distribuição acumulada, a média, a variância e a probabilidade de intervalo de qualquer distribuição uniforme contínua.
Digite o valor mínimo a e o valor máximo b. Opcionalmente, insira um ponto x para a CDF, ou os limites inferior e superior x1/x2 para a probabilidade de intervalo.
Calculadora de distribuição uniforme - PDF, CDF e média
Calcule a função densidade de probabilidade, a função distribuição acumulada, a média, a variância e a probabilidade de intervalo de qualquer distribuição uniforme contínua.
Opcional — digite x para calcular P(X ≤ x).
Opcional — digite x1 e x2 para calcular P(x1 ≤ X ≤ x2).
Sobre a distribuição uniforme
A distribuição uniforme contínua, às vezes chamada de distribuição retangular, descreve uma situação em que todos os valores de um intervalo dado [a, b] têm a mesma chance de ocorrer. É a distribuição de probabilidade contínua mais simples e serve como modelo canônico para fenômenos em que todos os resultados em um intervalo são igualmente prováveis — por exemplo, o instante exato em que um ônibus chega dentro de uma janela programada, ou a posição de parada de uma roda girando que é interrompida em um momento aleatório.
A função densidade de probabilidade (PDF) da distribuição uniforme é constante ao longo do intervalo: f(x) = 1/(b − a) para a ≤ x ≤ b, e zero fora dele. Como a área total sob a PDF deve ser igual a um e a forma é um retângulo plano, a altura do retângulo é simplesmente o inverso da largura. Isso torna a PDF fácil de interpretar: qualquer subintervalo com a mesma largura tem a mesma probabilidade, independentemente de onde esteja dentro de [a, b].
A função distribuição acumulada (CDF) dá a probabilidade de que uma observação aleatória esteja em ou abaixo de um valor específico x. Para a distribuição uniforme, F(x) = (x − a)/(b − a) para a ≤ x ≤ b. Ela cresce linearmente de zero em x = a até um em x = b, refletindo o acúmulo constante de probabilidade à medida que x percorre o intervalo. Para encontrar a probabilidade de um valor cair no intervalo [x1, x2], basta subtrair: P(x1 ≤ X ≤ x2) = (x2 − x1)/(b − a), que é simplesmente a largura do subintervalo dividida pela largura total.
A média (valor esperado) da distribuição uniforme é o ponto médio do intervalo: E[X] = (a + b)/2. Isso faz sentido intuitivamente — se todos os valores são igualmente prováveis, o valor médio fica exatamente no centro. A variância mede o desvio quadrático médio em relação à média e é igual a (b − a)² / 12. Um intervalo mais amplo produz uma variância maior, refletindo maior incerteza sobre onde o resultado irá cair.
A distribuição uniforme é amplamente usada como ponto de partida ou referência em simulação, métodos de Monte Carlo e geração de números aleatórios. Geradores pseudoaleatórios normalmente produzem variáveis uniformes em [0, 1], que podem então ser transformadas em outras distribuições usando o método da CDF inversa. Em estatística Bayesiana, o prior uniforme expressa um estado de completa ignorância sobre um parâmetro dentro de um intervalo conhecido. Em engenharia de confiabilidade e em escalonamento, ele modela tempos desconhecidos de chegada ou falha quando apenas o intervalo é conhecido.
Entender a distribuição uniforme também fornece uma base para compreender distribuições contínuas mais complexas. Sua simplicidade a torna ideal para ensinar os conceitos de PDF, CDF, valor esperado e variância antes de introduzir as distribuições normal, exponencial ou beta.
Exemplos de distribuição uniforme
Cálculos aplicados usando as fórmulas da distribuição uniforme para cenários comuns.
| Parâmetros | Métricas principais | Aplicação |
|---|---|---|
| a = 0, b = 1 | PDF = 1, Mean = 0.5, Variance = 0.0833 | A distribuição uniforme padrão U(0,1), base de todos os geradores de números pseudoaleatórios e do método de transformação por CDF inversa. |
| a = 2, b = 10 | PDF = 0.125, Mean = 6, Variance ≈ 5.333 | Um ônibus chega uniformemente entre 2 e 10 minutos. A espera média é de 6 minutos, e a variância é (10−2)²/12 = 64/12 ≈ 5.333. |
| a = 0, b = 60, x1 = 20, x2 = 40 | P(20 ≤ X ≤ 40) = 0.333 | Um minuto aleatório dentro de uma hora. A probabilidade de cair entre o minuto 20 e o minuto 40 é (40−20)/60 = 1/3 ≈ 0.333. |
Como usar a calculadora de distribuição uniforme
- Digite o valor mínimo a no primeiro campo e o valor máximo b no segundo. Certifique-se de que b seja estritamente maior que a.
- Clique em Calcular para ver instantaneamente a PDF, a média, a variância e o desvio padrão da sua distribuição.
- Opcionalmente, digite um valor x no campo da CDF para calcular P(X ≤ x), a probabilidade de a variável aleatória ser no máximo x.
- Opcionalmente, digite x1 e x2 para calcular a probabilidade de intervalo P(x1 ≤ X ≤ x2).
- Clique em Redefinir para limpar todos os campos e iniciar um novo cálculo.
Perguntas frequentes sobre a distribuição uniforme
Para que a distribuição uniforme é usada?
A distribuição uniforme modela situações em que todos os resultados dentro de um intervalo têm a mesma probabilidade. Aplicações comuns incluem geração de números aleatórios, estudos de simulação, priors bayesianos não informativos e modelos de programação ou de tempo de chegada quando apenas o intervalo possível de valores é conhecido.
Como calculo a probabilidade de um intervalo?
Para uma distribuição uniforme em [a, b], a probabilidade de um valor cair em [x1, x2] é simplesmente (x2 − x1) / (b − a). Isso é proporcional à largura do subintervalo em relação ao intervalo total, refletindo a PDF plana.
Qual é a diferença entre PDF e CDF na distribuição uniforme?
A PDF fornece a densidade em um ponto e é igual a 1/(b−a) em qualquer ponto de [a, b]. A CDF fornece a probabilidade acumulada até um ponto x e é igual a (x−a)/(b−a). Para distribuições contínuas, probabilidades só fazem sentido em intervalos, não em pontos individuais.
Por que a variância é (b−a)²/12?
A variância é derivada integrando (x − média)² × f(x) sobre [a, b], onde f(x) = 1/(b−a). O cálculo se simplifica para (b−a)²/12. Um intervalo mais amplo aumenta a variância proporcionalmente ao quadrado da largura, já que os valores ficam mais espalhados em relação à média.
A distribuição uniforme é o mesmo que resultados igualmente prováveis?
Para variáveis aleatórias contínuas, sim. A distribuição uniforme é o análogo contínuo de um dado justo ou de um sorteio aleatório — qualquer subintervalo de mesmo comprimento tem a mesma probabilidade. No entanto, no caso contínuo, a probabilidade de um ponto individual é zero; apenas as probabilidades de intervalos são diferentes de zero.
Como a distribuição uniforme padrão U(0,1) se relaciona com outras distribuições?
A distribuição uniforme padrão U(0,1) é o bloco básico para gerar qualquer distribuição contínua. Se U é uniforme em [0,1] e F é a CDF da distribuição-alvo, então F⁻¹(U) segue essa distribuição-alvo. Esse método de transformação inversa é a base da maioria dos algoritmos de amostragem aleatória.