誕生日のパラドックス計算機

誕生日のパラドックスとは、グループ内の少なくとも二人が同じ誕生日である確率を問う問題です。意外な結果に感じられるのは、特定の一人と残りの人を比較しがちだからです。実際には、考えられるすべてのペアを比較します。23 人には 253 組のペアがあるため、誕生日の候補が 365 日あっても、一致する機会は数多くあります。標準的なモデルでは、23 人のグループですでに一致する確率が 50 パーセントを少し上回ります。 最もわかりやすい計算方法は、余事象である「全員の誕生日が異なる」場合から考えることです。一人目の誕生日はいつでもかまいません。二人目はその日を避ける必要があるので、確率は 364/365 です。三人目はすでに使われた二つの日付を避けるため 363/365 となり、全員について掛け合わせます。その積を一から引くと、少なくとも一組が一致する確率になります。式では P(match) = 1 - (365/365)(364/365)...((365-n+1)/365) と表され、n は人数です。 この計算機は、一般的な簡略化した誕生日モデルを使用します。365 日のどの日も同じ確率で誕生日になり、うるう日は除外し、各人の出生は独立していると仮定します。実際の出生記録は、季節、祝日、計画分娩、人口構成などが日ごとの出生率に影響するため、完全に均一ではありません。こうした違いは通常、一致の確率を少し高めますが、確率の授業、面接問題、教室での実演、おおまかな計画には標準モデルが適しています。 確率は急速に上昇します。10 人では約 11.7 パーセント、23 人では約 50.7 パーセント、30 人では約 70.6 パーセントとなり、50 人では 97 パーセントを超えます。99 パーセントを超えるには 57 人が必要です。この急増は、ハッシュ、暗号技術、データベースの識別子、品質管理で使われる、より一般的な衝突の原理を示しています。多くの項目を限られた種類に割り当てると、直感よりずっと早く重複が起こりやすくなります。 結果は、誰の誕生日が一致するか、どの日付が重なるかを示す予測ではなく、確率として捉えてください。50.7 パーセントとは、同じ条件の 23 人グループを多数集めると、その半数を少し超えるグループで少なくとも一組が一致するという意味です。個々のグループでは、一致がない場合も、一組だけ一致する場合も、複数の日付が重なる場合もあります。この計算機は、上記の仮定のもとで「少なくとも一組が一致する確率」を正確に求めます。