ベルトランの箱の逆説計算機

ベルトランの箱の逆説は、条件付き確率の古典的な問題です。標準形では三つの箱にそれぞれ二枚の硬貨が入っています。一つは金貨二枚、一つは金貨と銀貨、一つは銀貨二枚です。箱を等確率で選び、その箱から硬貨を等確率で一枚取り出したところ、金貨でした。選んだ箱に残る見えていない硬貨も金貨である確率はいくつでしょうか。金貨・金貨と金貨・銀貨の箱だけが候補に残るため、直感的に二分の一と答えがちですが、これは誤りです。 見落とされているのは、金貨を観測した後では、この二つの箱が等確率ではないことです。金貨・金貨の箱には観測結果を生む硬貨が二枚あり、金貨・銀貨の箱には一枚しかありません。等確率の三通りの金貨の取り出し方のうち、二通りが金貨・金貨の箱に属します。したがって、残る硬貨も金貨である条件付き確率は 2/3、約 66.67% です。観測によって箱の相対的な可能性が変わることが、この逆説の要点です。 この計算機は、各種類の箱を複数設定できるように問題を一般化しています。金貨・金貨の箱が G 個、金貨・銀貨の箱が M 個なら、前者には 2G 個、後者には M 個の金貨の結果があります。金貨を観測した条件のもとで、金貨・金貨の箱を選んでいた確率は 2G を 2G + M で割った値です。銀貨・銀貨の箱は金貨の観測を生まないため式に現れませんが、硬貨を見る前の実験には含まれます。 この問題は、ベイズの定理、選択効果、証拠に基づいて結果を数える重要性を簡潔に示します。医療検査の解釈や品質管理の抜取検査など、隠れた原因によって観測の起こりやすさが異なる場面に似ています。答えは抽出の仮定に依存します。各箱が等確率で選ばれ、選んだ箱の各硬貨も等確率で取り出される必要があります。選択確率が異なる場合は、その重みを明示的に含める必要があります。箱の個数を変え、同じ条件付きの推論を保ちながら、箱の種類を増やすと事後確率がどう変わるか確認してください。