パロンドのパラドックス計算

パロンドのパラドックスは、単独ではどちらも損をする二つのゲームを交互に行ったりランダムに混ぜたりすると、期待収益が正になり得るという直感に反する確率現象です。確率を無から生み出しているわけではありません。プレイヤーの資本が各状態を訪れる頻度が変わることで生じます。ゲーム B は資本が周期長で割り切れるときに一方のコインを、それ以外では別のコインを使うため、次の勝率は現在の余りに依存します。 ゲーム A の勝率は一定です。勝つと資本が一単位増え、負けると一単位減るので、各回の期待変化は勝率の二倍から一を引いた値になります。ゲーム B にはより慎重な計算が必要です。各回の後に資本は余りで分類した状態間を移動し、それぞれの状態の長期的な頻度は一般に均一ではありません。この計算機は指定した周期長の遷移過程を構築し、反復計算で定常分布を求め、各状態の勝敗の期待値を定常確率で重み付けします。 混合ゲームでは、まず余りの各状態について、ゲーム A の勝率と対応するゲーム B の勝率を組み合わせます。ゲーム A を選ぶ確率がその配分を決めます。その後、定常分布を再計算します。混合によって直近の勝率だけでなく、各状態にいる割合も変わるためです。この違いは重要で、A と B の単独の収益を平均するだけでは、パラドックスを生む仕組みを捉えられません。 古典的な例では、わずかに不利なゲーム A と、不利な状態では極めて不利なコイン、有利な状態では有利なコインを使うゲーム B を用います。単独では両方とも長期ドリフトが負でも、等確率でランダムに混ぜると正になる場合があります。結果は期待値であり、保証ではありません。有限回の試行はランダムなので、理論的なドリフトと逆方向に資本が増減することもあります。確率モデルの探索、マルコフ連鎖の学習、公開されたパロンドのパラメータの確認に利用でき、ばらつきのあるシミュレーションは不要です。