ベルトランの逆説計算機

ここで扱うベルトランの逆説は、ベルトランの箱の逆説とも呼ばれる、有名な三つの箱の条件付き確率問題です。見た目が同じ三つの箱に、それぞれ異なる組み合わせの硬貨が入っています。一つ目は金貨二枚、二つ目は金貨と銀貨が一枚ずつ、三つ目は銀貨二枚です。箱を無作為に選び、硬貨を一枚無作為に取り出します。それが金貨だとわかったとき、箱に残る硬貨も金貨である確率を問います。 銀貨二枚の箱を除き、残る二箱を同じ確率と考えて、答えを二分の一としたくなります。しかし、それでは観測された証拠の生じやすさを見落としています。金貨二枚の箱から金貨を取り出す方法は二通り、金貨・銀貨の箱からは一通りです。金貨を見たという条件のもとでは、金貨が出る三つの位置は等確率です。そのうち二つは金貨二枚の箱に属するため、残りも金貨である正確な確率は 2/3、約 66.67% です。 この計算機は、指定した条件付き試行回数にこの正確な理論確率を適用します。試行回数に 2/3 を掛けると、まだ見ていない硬貨が金貨となる期待回数が得られます。期待値は小数になり得ますが、観測回数は整数なので、表示は最も近い整数に丸めます。無作為標本は生成しないため、同じ入力なら結果は常に同じです。実際のモンテカルロシミュレーションでは期待値の周囲で変動し、一般に試行回数が増えるほど割合は三分の二に近づきます。 この逆説は、観測結果をどれだけ生じやすいかに応じて各説明を重み付けするという、条件付き確率の重要な教訓を示します。この原理はベイズの定理の基礎であり、診断検査、スクリーニング、信頼性分析、分類にも現れます。また、抽出の前提を明確にする必要があります。各箱が最初に選ばれる確率は等しく、選んだ箱のどちらの硬貨も等確率で取り出される必要があります。選択の重みが異なれば答えも変わります。試行回数を変えて、固定された理論確率と変化する期待回数を区別し、実験の実測値は偶然の変動で期待値からずれることを覚えておきましょう。