対数正規分布計算機

正の確率変数の自然対数が正規分布に従うとき、その変数は対数正規分布に従います。ln(X)が位置mu、標準偏差sigmaの正規分布に従うなら、Xはそのパラメータを持つ対数正規分布です。正の値のみで定義され、通常は右に歪んでいます。多くの観測値が小さい側に集まる一方、長い右裾により、ときどき大きな値が現れます。 パラメータは元の測定値ではなく、その対数を表します。Muはln(X)の平均なので、muを変えると元の尺度の分布は乗法的に移動します。Sigmaはln(X)の標準偏差で、正でなければなりません。Sigmaが大きいほど相対的なばらつきと右への歪みが増し、右裾も重くなります。Sigmaは形状パラメータや対数尺度パラメータとも呼ばれ、Xそのものの標準偏差ではありません。 確率密度関数PDFは、正のxでの相対的な密度を示します。一点での密度自体は確率ではなく、区間の面積が確率になります。累積分布関数CDFは、Xが入力したx以下となる確率です。ln(x)を正規分布のzスコアに変換し、標準正規分布のCDFを評価して求めます。 元の尺度での中央値はexp(mu)です。対数の半分がmuより小さいためです。最頻値はexp(muからsigmaの二乗を引いた値)で、sigmaが正なら中央値より小さくなります。平均値はexp(muにsigmaの二乗の半分を加えた値)で、右裾の大きな値が算術平均を引き上げるため中央値より大きくなります。最頻値、中央値、平均値の順に大きくなるのが、右に歪んだ分布の特徴です。 分散は、exp(sigmaの二乗)から一を引いた値に、exp(2muにsigmaの二乗を加えた値)を掛けたものです。Sigmaが増えると急激に大きくなることがあります。この敏感さは、少数の大きな観測値が合計を左右する金融、環境、信頼性、生物、所要時間のデータで重要です。元の尺度の平均値や別の尺度因子を使うソフトウェアもあるため、パラメータの定義を明確に示してください。 値が厳密に正で、複数の影響が乗法的に組み合わさる場合、対数正規モデルが妥当なことがあります。所得、粒子径、修理時間、生体濃度、一部の資産価格比などが例です。ただし、正の値からなる右に歪んだ標本すべてに適するわけではありません。ヒストグラム、対数尺度のグラフ、対数値の正規確率プロットを確認してください。ゼロや負の値には、科学的根拠のある変換か、別のモデルが必要です。