負の二項分布計算機

負の二項分布は、独立な試行を繰り返し、決められた成功回数に達するまでに何回失敗するかを表します。各試行の結果は通常、成功と失敗の二つだけで、成功確率は一定です。この計算機では、必要な成功回数を r、各試行の成功確率を p、r 回目の成功までに観測される失敗回数を k とします。この定義は確率の授業、品質管理、信頼性研究、疫学、カウントデータのモデル化で広く使われています。 点確率は、確率質量関数 C(k + r - 1, k) に p の r 乗と (1 - p) の k 乗を掛けて求めます。組合せの項は、最後の試行が目標の成功になるという条件のもとで、それ以前の成功と失敗の並び方を数えます。計算機はさらに、ゼロから k までの確率質量を合計して P(X <= k) を求め、一からその累積値を引いて P(X > k) を表示します。これらにより「ちょうど」「以下」「超える」という問いに、別々に計算せず答えられます。 失敗回数の期待値は r(1 - p) / p、分散は r(1 - p) / p² です。成功確率が高いほど、分布は一般に失敗ゼロの方向へ寄り、ばらつきも小さくなります。目標成功回数が多くなると、期待される失敗回数と分散はともに増えます。p が一ならすべての試行が成功するため、失敗ゼロの確率は一となり、平均と分散はいずれもゼロです。 r と k は回数なので整数を使います。p はゼロから一の間の小数で入力し、例えば 35% の確率なら 0.35 とします。標準モデルを適用するには、試行が独立で同一の分布に従う必要があります。試行ごとに確率が変わる、結果が互いに影響する、別の理由で過程が終了する場合は、別のモデルが適切かもしれません。また、教科書によっては負の二項変数を失敗回数ではなく総試行回数として定義します。その場合、総試行回数は k + r です。変数を正しく変換すれば、確率そのものは変わりません。