ベータ分布計算機

ベータ分布は零から一の区間で定義される連続確率分布です。通常alphaとbetaと呼ぶ二つの正の形状パラメータが分布の形を決めます。柔軟な形状をとれるため、確率、割合、コンバージョン率、信頼性など、自然な下限と上限を持つ量のモデル化に適しています。alphaとbetaがともに一なら密度は一様です。同じ値で一を超えると左右対称の山型になり、異なる値なら左または右に歪みます。 確率密度関数は、xの(alpha−一)乗と(一−x)の(beta−一)乗の積を、ベータ関数B(alpha, beta)で割ったものです。密度はある点の近くへの相対的な集中を表し、連続変数がその値と完全に一致する確率そのものではありません。累積分布関数は、ベータ分布に従う確率変数がx以下となる確率です。この計算機では正則化不完全ベータ関数でCDFを求め、指定点のPDFとCDFを表示します。 形状パラメータから有用な統計量も直接求められます。平均はalphaを(alpha+beta)で割った値です。分散はalphaとbetaの積を、[(alpha+beta)の二乗と(alpha+beta+一)の積]で割った値です。両パラメータが一を超えると、区間内部の最頻値は(alpha−一)/(alpha+beta−二)です。どちらかが一以下の場合は最大密度が片方または両方の境界に現れ得るため、この単純な内部最頻値は未定義と表示します。 ベータ分布はベルヌーイ尤度や二項尤度の共役事前分布であり、ベイズ推論で重要な役割を果たします。事前分布Beta(alpha, beta)を成功s回、失敗f回で更新するとBeta(alpha + s, beta + f)になります。これにより、点推定だけでなく不確実性を示す、解釈しやすく効率的な比率モデルを構築できます。プロジェクトのモデル化、順序統計量、乱数生成にも使われます。用途に応じてパラメータを選び、alphaとbetaは確率ではなく形状の値である点に注意してください。PDFは相対密度の比較、CDFは閾値以下の確率、モーメントは位置や広がりの要約に使います。