三次回帰計算ツール

三次回帰は、対になった観測値に三次多項式を当てはめます。モデルは y = ax³ + bx² + cx + d で、a は主要な曲がり方、b は二次的な曲がり、c は線形傾向を表し、d は x がゼロのときの予測値です。補間と異なり、回帰は通常、すべての点を通ることを要求しません。観測された y と予測された y の縦方向の差の二乗和が最小になる係数を選びます。 この計算ツールは通常最小二乗法を使います。入力した x 値から基底項 1、x、x²、x³ に対応する四つの正規方程式を作り、ピボット選択付きガウス消去法で四元連立方程式を解きます。各段階で利用可能な最大のピボットを選ぶことで、数値的な信頼性を高めます。独立した四つの係数を推定するため、少なくとも四組の観測値と四つの異なる x 値が必要です。 表示される決定係数 R² は、モデルに残る二乗誤差と観測された y 値の総変動を比較します。R² が 1 なら、近似曲線がすべての観測値を正確に再現しています。ゼロに近い場合、単に平均値を使う場合と比べて説明できる変動がほとんど増えていません。高い R² は良い当てはまりの目安ですが、三次の関係に科学的意味があることや、観測範囲外の予測が信頼できることの証明にはなりません。 三次モデルは、増加が加速した後に減速し、再び上昇するように、データの方向が最大二回変わる場合に役立ちます。校正曲線、限られた区間の物理的軌道、成長測定、需要パターン、滑らかな実験応答などを表せます。可能なら必ずデータを描画してください。一つの異常な観測値が大きく影響することがあり、大きな x 値や密集した x 値では、多項式の係数がわずかな変化に敏感になります。 二つのリストは同じ位置で対応させます。最初の x は最初の y、二番目の x は二番目の y という順です。観測数が最低限の四組より多い方が、一般に有益な近似が得られます。x³ の項は急速に大きくなるため、データ範囲外の予測には注意してください。より単純な線形モデルや二次モデルとも比較し、曲がりを追加しても実質的な改善がなければ、単純なモデルを優先しましょう。