三角関数の次数下げ計算機

次数下げの公式は、正弦・余弦・正接の累乗を、より低い指数の三角関数を使った式に書き換えます。これらは余弦の倍角公式から導かれます。cos(2x) = 1 - 2sin²(x) を sin²(x) について解くと正弦の次数下げの公式が得られ、cos(2x) = 2cos²(x) - 1 からは余弦の公式が得られます。両者の比を取ると tan²(x) の公式になります。1乗だけを含む式は、積分・比較・グラフ化・式変形がしやすいため、こうした等価な形は特に便利です。 この計算機は、代数や微積分の準備学習、初歩の微積分でよく使う変形に対応しています。平方には cos(2x) を含む半角の式を返します。正弦と余弦の立方は、元の関数と3倍角の関数の組み合わせに変形します。4乗は、定数と2倍角・4倍角の余弦の項の和になります。結果はいずれも恒等式なので、元の三角関数の式が定義される範囲では常に入力と等しくなります。 次数下げが特に役立つのは積分です。sin²(x) や cos⁴(x) に基本的な原始関数の公式を直接適用するのは不便ですが、定数と余弦の1乗に置き換えれば、各項を順に積分するだけで済みます。同じ公式は、フーリエ級数の導出、三角関数の平均値の計算、別の恒等式の証明、周期的な物理現象の問題にも役立ちます。工学でも、振動や信号の高調波成分の解析に関連する変換を用います。 x、t、theta などの短い変数名を入力してください。変数は記号式の結果にそのまま反映され、係数と角度の倍率は選択した関数と指数から決まります。対応外の組み合わせには、根拠のない近似を出すのではなく、明確なメッセージを表示します。正接は一般的な平方の公式に対応しています。正接の高い累乗は通常、正割の恒等式を使って再帰的に変形するため、その後の計算目的によって手順が異なります。 累乗の表記と角度の表記は異なります。sin²(x) は sin(x) の平方であり、sin(x²) ではありません。同様に cos(2x) は、角度を2倍にしてから余弦を求めることを表します。任意の角度を選び、両辺で同じ角度単位を使って計算し、値を比較すれば、表示された恒等式を数値的に確認できます。小数の丸めでわずかな差が出る場合はありますが、記号式の恒等式自体は厳密です。