二次関数の平方完成計算機

標準形は、放物線の折り返し点をすぐに読み取れる二次関数の便利な表し方です。式は y = a(x - h)² + k で、頂点は (h, k) です。係数 a は放物線の開く向きと幅を決めます。a が正なら上向き、負なら下向きに開き、絶対値が大きいほどグラフの幅は狭くなります。 同じ二次関数を一般形で表すと y = ax² + bx + c です。この形では c が y 切片ですが、頂点はすぐにはわかりません。一般形から標準形に変換するには、h = -b/(2a) を求めます。次に h を関数に代入して k を求めるか、k = c - b²/(4a) を使います。これらの公式は平方完成と同等です。 標準形から一般形へ戻すには、平方を展開します。a に (x - h)² を掛けると ax² - 2ahx + ah² となります。k を加えると、一般形の係数は b = -2ah、c = ah² + k です。どちらの変換でも最高次の係数 a は変わりません。両方の式はまったく同じ放物線を表すためです。 a が正なら頂点で最小値、負なら最大値を取ります。鉛直な直線 x = h が対称軸です。この軸から左右に同じ水平距離にある点では y の値が等しくなります。この対称性により、標準形はグラフ作成、最適化、投射運動、収益モデル、最大値や最小値を求める問題に特に役立ちます。 係数 a はゼロにできません。ゼロだと二乗の項がなくなり、二次ではなく一次の形になるためです。ほかの係数や頂点座標には正、負、ゼロ、小数を使えます。標準形を読むときは引き算の符号に注意してください。(x - 3) なら h = 3、(x + 3) なら h = -3 です。 この計算機は代数計算を数値的に行い、変換後の式と頂点を表示します。必要に応じて結果を小数点以下六桁に丸めます。入力値と計算された係数の関係を明確にするため、係数が一やゼロの項も省略せず表示します。平方完成の答え合わせ、グラフの準備、代数問題で指定された形式への変換に利用できます。