固有多項式計算機

固有多項式は、正方行列の重要な情報を一つの多項式にまとめたものです。その根は行列の固有値であり、対応する線形変換において同一直線上の方向を保ちながら拡大・縮小される方向や状態を表します。この計算機は実数の 2 行 2 列の行列から多項式を計算し、トレースと行列式も表示します。 第一行の成分が a、b、第二行が c、d の行列では、モニックな固有多項式は p(λ) = det(λI - A) です。行列式を展開すると、λ の二乗から (a + d) と λ の積を引き、(ad - bc) を加えた式になります。a + d がトレース、ad - bc が行列式です。2 行 2 列の行列では、この二つの値だけで固有多項式が決まります。 教科書によっては det(A - λI) と定義します。偶数次の 2 行 2 列の行列では同じ多項式になるため、ここでは符号の違いは生じません。奇数次では両者の全体の符号が逆になりますが、根は同じです。ここで用いるモニックの定義は最高次の係数を一とするもので、線形代数で広く使われます。 固有多項式は、固有値計算、安定性解析、微分方程式、漸化式、量子力学、制御系、データサイエンスなどに用いられます。最も簡単な例は対角行列です。固有値は対角成分そのもので、多項式は λ から各対角成分を引いた因子の積になります。重根は重複する固有値を示しますが、十分な数の一次独立な固有ベクトルが存在するかどうかは、さらに調べる必要があります。 通常の整数または小数を、各行の左から右へ順に入力してください。計算機は先にトレースと行列式を求め、それらを一般的な二次式に代入します。小数計算の結果は表示時に丸められる場合があるため、記号を使った証明では正確な分数の方が適していることがあります。数値として固有値を求めるには、表示された二次方程式を因数分解するか、解の公式を使ってください。