放物線計算機

放物線とは、焦点と呼ばれる定点と、準線と呼ばれる定直線からの距離が等しい平面上の点の集合です。この幾何学的定義によって、二次関数でおなじみのU字型曲線が得られます。縦向きの放物線には、頂点を通る垂直な対称軸があります。最高次の係数が正なら上向きに、負なら下向きに開きます。 一般形は y = ax² + bx + c で、aはゼロにできません。頂点のx座標は-bを2aで割った値で、それを式に代入すると頂点のy座標が求まります。この計算機は同値な式 k = c - b²/(4a) を使います。一般形ではy切片がcとすぐにわかり、aの符号と大きさが曲線の向きと幅を決めます。 頂点形式は同じ関数の族を y = a(x - h)² + k と表します。頂点は直接(h, k)と読み取れ、対称軸は x = h です。平方完成した後や y = x² のグラフを平行移動した場合に特に便利です。aの絶対値が大きいほど幅の狭いグラフになり、絶対値がゼロと一の間なら幅が広くなります。符号を変えると、頂点を通る水平線について曲線を反転した形になります。 焦点と準線は焦点パラメータpに依存し、縦向きの関数型放物線ではpは1を4aで割った値です。焦点は(h, k + p)、準線は水平線 y = k - p です。pの絶対値が焦点距離で、頂点から焦点または準線までの距離を表します。幅の狭い放物線は焦点距離が短く、幅の広い放物線は長くなります。 放物線は、二次の関係や反射特性が関わる場面で現れます。空気抵抗を無視すると、投射体の軌跡はおおよそ放物線になります。衛星用パラボラアンテナ、電波アンテナ、望遠鏡の鏡、自動車の前照灯、太陽光集光器では、軸に平行な光線が焦点へ反射する性質を利用して放物面反射器を使います。解析幾何学では、頂点、軸、焦点、準線がわかれば、曲線の位置と形を完全に記述できます。 この計算機は、xの関数として表される縦向きの放物線を扱います。横向きの放物線はxをyの関数として表し、水平な軸、垂直な準線、異なる配置の焦点が必要です。対応する形式では、ゼロ以外のaと残りの係数を入力してください。主要な幾何学的性質を、作図や確認に適した丸めた小数値で表示します。