ヒルベルトのホテルの逆説計算機

ヒルベルトのホテルは、可算無限集合の不思議な性質を示すために数学者ダフィット・ヒルベルトが紹介した思考実験です。部屋番号が 1、2、3 と果てしなく続くホテルを想像してください。すべての部屋に客がいるので、有限のホテルなら支配人は満室の札を出すでしょう。しかし無限ホテルでは、すべての既存客を別々の部屋に対応させる規則に従って移動してもらうことで、まだ空きを作れます。 新しい客が一人来たら、客 1 は 2 号室へ、客 2 は 3 号室へ移り、一般に客 n は n 足す 1 号室へ移ります。既存客全員の部屋が確保されたまま、1 号室が空きます。k 人の有限な団体なら、既存の客 n を n 足す k 号室へ移せば、最初の k 部屋が空きます。この計算機では入力した数を団体人数と追跡する客の番号の両方に使うため、表示される移動先はその数の二倍です。 無限バスのシナリオはさらに驚くべきものです。既存客を n 号室から 2n 号室へ移すと、全員が偶数番号の部屋に入ります。無限にある奇数番号の部屋は空いたままです。そこでバスの乗客 n は 2n 引く 1 号室に入れます。これにより、両方の集団が無限で、ホテルが最初は満室でも、すべての既存客と新しい乗客に一対一の部屋割りができます。 この逆説は、現実のホテルに無限の人が泊まれると主張しているのではありません。無限の濃度が、有限の数え上げで身につけた直感のすべてには従わないことを示します。自然数は偶数のような自身の真部分集合と一対一対応できるため、両方が同じ可算無限の大きさを持ちます。再配置は数学的な写像であり、一回ずつ移動を終える手順ではないので、最後の客の移動も最大の部屋番号も必要ありません。 シミュレーターでは無限の過程をすべて列挙しようとせず、個別の部屋割りを確認してください。どの正の整数番号も同じ規則に従います。例では式と具体的な客を結びつけ、説明では二人が同じ部屋に入らない理由と、指定された各部屋にちょうど一人が入る理由を示します。