平行六面体の体積計算機

平行六面体は、六つの面がすべて平行四辺形である立体です。引き伸ばしたり斜めに変形したりした箱と考えることができ、辺同士が直角に交わるとは限りません。同じ始点を持つ三つのベクトルが、隣り合う三辺の向きと長さを表します。立体が三次元空間で傾いていても、このベクトルに体積計算に必要な情報がすべて含まれています。 使う演算はスカラー三重積です。まずベクトル b と c の外積を求めます。その結果は二辺を含む平面に垂直なベクトルで、大きさは二辺が張る平行四辺形の面積です。次にベクトル a とその垂直ベクトルの内積を取ります。残る辺を垂直方向へ射影するため、実質的に底面積と垂直な高さを掛けることになります。向きの変更で行列式が負になることがある一方、体積は負にならないので絶対値を使います。 座標では、三つのベクトルを三行三列の行列に並べ、行列式を求めます。計算機はこの展開を直接実行します。a = (ax, ay, az)、b = (bx, by, bz)、c = (cx, cy, cz) のとき、符号付き三重積は対角方向の積と反対符号の項を組み合わせたものです。その絶対値は立方単位になります。座標軸に沿う直交ベクトルなら、おなじみの縦×横×高さの結果になります。 結果がゼロの場合には重要な幾何学的意味があります。三つのベクトルが同一平面上にあるか、少なくとも一つが他に従属していることを示します。真に三次元の領域を囲めず、平行六面体は平面、直線、点へと退化します。ゼロではないものの非常に小さい行列式は、ほぼ同一平面上のベクトルを示すことがあり、数値解析や幾何学で重要になります。 この計算はベクトル解析、解析幾何学、物理学、結晶学、コンピュータグラフィックスで使われます。工学では行列式で座標系間の体積変換を行い、物理学ではトルクや向きの計算に三重積を使います。物理的な長さを表すベクトルなら、成分の単位を統一してください。各成分がメートルなら結果は立方メートルです。負の成分は向きを示すため入力可能で、未入力や数値でない成分だけが無効です。 整数入力の結果は通常の浮動小数点精度の範囲内で正確で、小数の計算は丸められます。測定から得たベクトルでは、元の値の精度を十分に保ってください。この計算機が求めるのは幾何学的体積のみです。表面積、辺の角度、質量は別途計算する必要があります。