平方完成計算機

平方完成は、二次式の一部が完全平方になるように書き換える方法です。一般的な二次式はax² + bx + cで、aはゼロではありません。平方完成した形、すなわち頂点形式はa(x - h)² + kです。hとkから放物線の頂点が直接分かるため、グラフの作成、最適化、方程式の求解、係数の変化による二次曲線の移動の理解に役立ちます。 二次の係数が一でない場合は、まずxを含む項からaをくくり出します。次に、括弧内のxの係数を半分にして二乗します。その値を足して引くことで式の値を変えずに完全平方の三項式を作れます。代数的には、hは-bを2aで割った値、kはcからb²を4aで割った値を引いたものです。これらを代入すると、元の二次式と等しいa(x - h)² + kが得られます。 この計算機は、これらの基本公式を直接使い、平方完成後の方程式、頂点、判別式、解を表示します。判別式はb² - 4acです。正なら異なる二つの実数解、ゼロなら一つの重解、負なら共役な複素数解の組が得られます。これらをまとめて見ることで、一般形、頂点形式、解の公式のつながりを理解しやすくなります。 平方完成した形から解くには、二乗の部分だけを残します。a(x - h)² + k = 0からkを引き、aで割り、正負両方の平方根を取って、最後にhを足します。この手順が解の公式の考え方の基礎です。二乗の部分に対応する値が負なら、平方根に虚数単位iが現れます。この場合、グラフはx軸と実数の交点を持ちませんが、重複度を数えれば複素数の範囲で二つの解があります。 符号には注意してください。hが負の場合、x - hは負の数を引く表示になり、これは加算と同じです。同様に、表示のひな形にプラス記号があってもkは負になることがあります。数値を入れた形は代数的に正しく、代入や展開によって元の係数に戻せます。見やすさのため、小数の出力は小数点以下八桁に丸めますが、計算はJavaScriptの倍精度演算で行います。 平方完成は教科書の方程式を解く以外にも使われます。二次関数の最大値・最小値を示し、円の方程式の導出やガウス積分の計算に役立ち、確率や解析幾何にも登場します。計算機で手計算を確認した後、二項式の二乗を展開して定数項をまとめてみてください。この逆算により、平方完成した形と元の方程式が同じ関数を表すことを確かめられます。