行列のランク計算機

行列のランク（階数）とは、その行列に含まれる線形独立な行または列の数です。行ランクと列ランクは異なる方向から定義されますが、線形代数の基本定理により、常に等しいことが証明されています。つまりランクは、行列が持つ独立した情報の量を一つの数値で表します。 ランクが行数と列数の小さい方に等しい行列を、フルランクといいます。フルランクの正方行列は逆行列を持ち、行列式が非零で、異なる入力ベクトルを異なる出力ベクトルに写します。ランクが不足する行列には冗長性があり、少なくとも一つの行または列を他の行や列の線形結合で表せます。例えば、すべての行が最初の行の倍数なら、全要素が零の場合を除き、ランクは一です。 この計算機は、部分ピボット選択を伴うガウス消去法でランクを求めます。各列で信頼できる非零のピボットを探し、その行を適切な位置に交換して正規化し、他の行の同じ列の成分を消去します。有効なピボットが見つかるたびにランクを一つ増やします。利用可能なピボットがない列は、独立した方向を追加しないためスキップします。小さな数値許容誤差を設け、浮動小数点の丸め誤差によって理論上の零が誤ったピボットになるのを防ぎます。 ランクは連立一次方程式と直接関係します。係数行列では独立した制約の数を表します。係数行列と拡大係数行列のランクを比較すると、解がないか、一意か、無限にあるかを判定できます。また、階数・退化次数の定理によれば、列数はランクと核の次元の和に等しく、線形変換の像と核が結び付けられます。 データ分析では、ランクは冗長な特徴量の検出や次元削減の基礎となります。制御理論では可制御性・可観測性の判定に使われます。幾何学では、ベクトルの集合が張る空間の次元を表します。整数や小数を使って長方形行列または正方行列を入力してください。表示される整数は零以上、行数と列数の小さい方以下なので、結果を理解し確認しやすくなっています。