行列のトレース計算機

正方行列のトレースは、左上から右下に並ぶ主対角成分の和です。対角成分が a と d の 2 × 2 行列なら、トレースは単に a と d の和になります。非対角成分は直接加算されません。そのため、トレースは行列の重要な量の中でも特に速く計算できます。 トレースは正方行列に対してのみ定義されます。主対角線上で各行と対応する列をすべて組み合わせられるのは正方行列だけだからです。結果はスカラーで、正、負、ゼロのいずれにもなります。トレースがゼロでも、零行列や特異行列とは限りません。正負の対角成分が打ち消し合っているだけの場合もあります。 トレースには便利な代数的性質があります。線形性を持つため、A と B の和のトレースは、それぞれのトレースの和に等しくなります。また、行列を定数倍するとトレースも同じ定数倍になります。相似変換に対しても不変です。相似な行列は同じ線形変換を異なる基底で表しますが、トレースは一致します。このため、座標に依存しない要約量として役立ちます。 もう一つ重要なのは、A と B の積と B と A の積がともに定義され、正方行列となる場合、そのトレースが等しいという恒等式です。行列の積自体は可換ではありませんが、トレースではこの巡回的な入れ替えが可能です。より長い積でも、因子を巡回させてトレースを変えずに並べ替えられます。この性質は統計学、最適化、量子力学でよく使われます。 トレースは、代数的重複度を含めた固有値の総和にも等しく、固有値が複素数でも成立します。特性多項式、発散の計算、共分散分析、二次形式の期待値、量子状態の記述などに現れます。微分方程式では、力学系の局所的な膨張や収縮を特徴づけるのに役立ちます。 この計算機は、各行の長さが等しいことと正方行列であることを確認してから、対角成分を直接加算します。整数、負数、小数を入力できます。各対角成分につき加算は一度で済むため、行列が大きくなっても迅速に計算できます。表示値の丸めは、無視できる浮動小数点誤差を取り除く目的に限って行います。