行列ノルム計算機

行列ノルムは、行列全体をその大きさを表す一つの非負の数にまとめます。ノルムごとに重視する特徴が異なるため、適切な種類は対象の問題によって変わります。行列の比較、誤差の測定、反復計算の収束の検討に使えることから、線形代数、数値解析、最適化、データサイエンス、工学の基礎となっています。 フロベニウスノルムは、すべての成分の二乗和の平方根です。行列を一つの長いベクトルとみなすため直感的で、計算コストも低く抑えられます。近似誤差、画像処理、機械学習の目的関数によく使われます。成分に3と4があり、それ以外がすべてゼロの行列では、よく知られた三平方の関係によりフロベニウスノルムは5です。 行列の1ノルムは、各列の成分の絶対値の和の最大値です。列ごとに絶対値を足し、最も大きい合計を選びます。無限大ノルムはその行方向の対応物で、各行の絶対値の和から最大値を選びます。これらの誘導ノルムは、対応するベクトルノルムで測った誤差を行列がどれほど増幅するかの推定に特に役立ちます。 スペクトル2ノルムは、線形変換が生む最大の伸びを測ります。最大特異値に等しく、転置行列と元の行列の積の最大固有値の平方根とも一致します。この計算機は安定したべき乗法でその固有値を推定します。通常の実行列に対して精度が高く、零行列ではゼロを返します。 4種類のノルムはいずれも零行列のときに限りゼロとなり、すべての成分の符号を反転しても変わらず、三角不等式を満たします。一般に値は一致しませんが、次元に依存する上下界で関連づけられます。全体の大きさにはフロベニウスノルム、列の影響には1ノルム、行の影響には無限大ノルム、幾何学的な伸びには2ノルムを使います。正数、負数、整数、小数を入力でき、長方形行列にも対応しています。