ガリレオの無限の逆説計算機

ガリレオの逆説は、両立しないように見える二つの観察から始まります。平方数は正の整数の一部にすぎず、1、4、9、16 と続きます。大半の自然数は平方数ではなく、有限の範囲では平方数はますますまばらに見えます。しかし、正の自然数 n は必ず一つの平方数 n の二乗と対応し、正の平方数には正の平方根が一つだけあります。この一対一対応から、平方数の集合と自然数全体の集合は、無限集合として同じ大きさを持つと考えられます。 この計算機は有限の場合を可視化します。1 から上限 N までの自然数に含まれる平方数は floor(sqrt(N)) 個です。100 までには 10 個あり、全体の 10% を占めます。10,000 まででは 100 個、わずか 1% です。N が大きくなると floor(sqrt(N))/N はゼロに近づきます。自然密度の用語では、自然数における平方数の密度はゼロです。 無限の場合は割合ではなく対応を使います。1 と 1、2 と 4、3 と 9 を組にし、一般に n と n の二乗を対応させます。入力側の自然数に漏れはなく、出力側の平方数にも重複や漏れがありません。現代の集合論では、この規則を全単射と呼びます。二つの集合間に全単射があれば、一方が他方の真部分集合でも濃度は同じです。どちらも可算無限集合です。 有限の割合と無限集合の濃度が異なる尺度だと理解すれば、矛盾はありません。割合は、上限を増やしたときに一方の集まりが他方の中にどれほど密に現れるかを問います。濃度は、要素を一つずつ対応させられるかを問います。有限集合では、真部分集合の要素数は必ず少ないという直感に一致します。一方、無限集合は自身の真部分集合と完全に対応できるため、振る舞いが異なります。 ガリレオがこの問題を論じた当時、無限基数の厳密な理論はまだありませんでした。後にゲオルク・カントールが、無限集合を比較する方法として一対一対応を定式化しました。この逆説は、可算無限、極限、密度、全単射を学ぶよい入口です。上限を徐々に増やして割合の減少を確かめながら、n を n の二乗へ写す対応はどちら側も尽きないことを意識してください。このツールは無限そのものを計算せず、有限の傾向と無限の対応が異なる数学的な問いに答える様子を示します。