Calculateur de puissance de matrice

Une puissance de matrice répète la multiplication matricielle, comme une puissance ordinaire répète la multiplication de scalaires. Si A est carrée, A au carré signifie A multipliée par A, et A au cube signifie A multipliée par A puis encore par A. La multiplication matricielle ne se fait pas terme à terme : chaque élément du résultat est le produit scalaire d'une ligne et d'une colonne. Cette distinction permet aux puissances de matrices de décrire des transformations linéaires répétées. Seules les matrices carrées admettent les puissances entières usuelles, car les dimensions doivent rester compatibles à chaque multiplication par la même matrice. Un exposant positif n répète la transformation n fois. On retrouve ce principe dans les systèmes dynamiques discrets, les chaînes de Markov, les marches dans les graphes, les relations de récurrence, les modèles de population et l'infographie. Par exemple, un élément d'une matrice d'adjacence élevée à n peut compter les marches de longueur n entre deux sommets. La puissance zéro de toute matrice carrée est définie comme la matrice identité de même taille. Celle-ci contient des uns sur sa diagonale principale et des zéros ailleurs ; multiplier une matrice par elle ne la modifie pas. Cette convention préserve les règles des exposants, notamment A puissance m multipliée par A puissance zéro égale A puissance m. Une puissance négative utilise la matrice inverse. A puissance moins un est l'inverse de A, et A puissance moins n est l'inverse élevé à la puissance positive n. Cela n'est possible que si A est non singulière. Si l'élimination ne trouve aucun pivot non nul, la matrice n'a pas d'inverse et le calculateur indique que la puissance négative demandée n'est pas définie. Ce calculateur emploie l'exponentiation par carrés plutôt que d'effectuer chaque multiplication séparément. Il élève la base courante au carré et n'utilise sa valeur que lorsque le bit correspondant de l'exposant vaut un. Le nombre de multiplications matricielles passe ainsi d'environ n à environ le logarithme de n, ce qui rend les grands exposants abordables. Pour les exposants négatifs, l'inverse est d'abord calculé par élimination de Gauss-Jordan avec pivot partiel. Les résultats ne sont arrondis qu'à l'affichage, afin de limiter les artefacts des nombres flottants tout en conservant une précision utile. Saisissez des entiers ou des décimaux, avec des virgules entre les colonnes et des points-virgules entre les lignes.