Calculateur de normes matricielles

Une norme matricielle résume une matrice entière par un nombre positif ou nul qui décrit son amplitude. Chaque norme met l'accent sur des caractéristiques différentes : le choix dépend donc du problème étudié. Les normes sont fondamentales en algèbre linéaire, analyse numérique, optimisation, science des données et ingénierie, car elles permettent de comparer des matrices, de mesurer des erreurs et d'étudier la convergence des calculs itératifs. La norme de Frobenius est la racine carrée de la somme des carrés de tous les coefficients. Elle traite la matrice comme un seul long vecteur, ce qui la rend intuitive et peu coûteuse à calculer. Elle sert souvent à mesurer des erreurs d'approximation, en traitement d'images et dans les fonctions objectif d'apprentissage automatique. Pour une matrice dont les coefficients sont 3 et 4, tous les autres étant nuls, la norme de Frobenius vaut 5, d'après la relation de Pythagore. La norme matricielle 1 est la plus grande somme des valeurs absolues par colonne. Additionnez les valeurs absolues dans chaque colonne, puis retenez le total maximal. La norme infinie est son équivalent par ligne : additionnez les valeurs absolues de chaque ligne et prenez le maximum. Ces normes induites sont particulièrement utiles pour estimer l'amplification, par une matrice, d'erreurs vectorielles mesurées avec les normes vectorielles correspondantes. La norme spectrale 2 mesure le plus grand étirement produit par la transformation linéaire. Elle est égale à la plus grande valeur singulière, ou à la racine carrée de la plus grande valeur propre du produit de la transposée par la matrice initiale. Ce calculateur estime cette valeur propre par une méthode des puissances stable. La méthode est précise pour les matrices réelles courantes et renvoie zéro pour la matrice nulle. Les quatre normes ne sont nulles que pour la matrice nulle, restent inchangées si tous les coefficients changent de signe et respectent l'inégalité triangulaire. Elles ne donnent généralement pas le même nombre, mais sont liées par des bornes dépendant des dimensions. Utilisez Frobenius pour une amplitude globale simple, la norme 1 pour les effets par colonne, la norme infinie pour les effets par ligne et la norme 2 pour l'étirement géométrique. Les coefficients peuvent être positifs, négatifs, entiers ou décimaux, et les matrices rectangulaires sont acceptées.