Calculateur de matrice des cofacteurs

Trouvez les neuf mineurs signés d'une matrice 3×3 et son déterminant pour calculer la matrice adjointe et l'inverse.

Calculer une matrice des cofacteurs 3×3

Saisissez tous les éléments pour obtenir la matrice complète des mineurs signés.

Éléments de la matrice

À propos des matrices de cofacteurs

La matrice des cofacteurs remplace chaque élément d'une matrice carrée par son mineur signé. Pour l'élément de ligne i et de colonne j, supprimez cette ligne et cette colonne, puis calculez le déterminant restant. Appliquez ensuite un signe positif ou négatif selon la position en damier. Pour une matrice 3×3, cela donne neuf déterminants 2×2 disposés dans une nouvelle matrice 3×3. Le motif commence par un signe positif en haut à gauche et alterne sur chaque ligne et colonne. La première ligne est plus, moins, plus ; la deuxième, moins, plus, moins ; la troisième, plus, moins, plus. Il faut appliquer le signe après le calcul de chaque mineur. Une erreur manuelle fréquente consiste à donner les mineurs en oubliant les quatre positions négatives. Les cofacteurs relient plusieurs opérations fondamentales d'algèbre linéaire. Leur transposition donne la matrice adjointe, au sens classique. Si le déterminant initial est non nul, diviser cette adjointe par le déterminant donne l'inverse. Le produit scalaire d'une ligne initiale avec la ligne correspondante de cofacteurs donne le déterminant ; avec une autre ligne de cofacteurs, il donne zéro. Ces identités permettent de contrôler le résultat. Le déterminant affiché sous la matrice est calculé à partir des mêmes cofacteurs. S'il est nul, l'inverse n'existe pas, mais la matrice des cofacteurs reste définie. Certaines matrices singulières ont des cofacteurs non nuls ; celles de rang suffisamment faible peuvent avoir une matrice des cofacteurs entièrement nulle. Les décimales sont acceptées et les calculs précèdent l'arrondi d'affichage. Les cofacteurs servent à résoudre des systèmes par la règle de Cramer, à établir des formules d'inversion, à trouver des normales aux plans, à étudier les polynômes caractéristiques et à démontrer des propriétés des déterminants. Pour de grands systèmes numériques, la réduction par lignes et les factorisations sont généralement plus efficaces et stables. Pour un exercice 3×3, la matrice complète rend la structure lisible. Ce calculateur place chaque résultat signé à sa position, afin de le transposer directement pour obtenir l'adjointe et de comparer les éléments aux calculs manuscrits.

Exemples de matrices de cofacteurs

Ces exemples illustrent l'effet de la structure sur les mineurs signés.

Lignes de la matrice	Lignes des cofacteurs	Observation
[1 2 3], [0 1 4], [5 6 0]	[-24 20 -5], [18 -15 4], [5 -4 1]	Le déterminant initial vaut 1.
[2 0 0], [0 3 0], [0 0 4]	[12 0 0], [0 8 0], [0 0 6]	Une matrice diagonale donne une matrice des cofacteurs diagonale.
[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	[1 0 0], [0 1 0], [0 0 1]	La matrice identité est sa propre matrice des cofacteurs.

Comment calculer une matrice des cofacteurs

Saisissez les neuf éléments ligne par ligne.
Sélectionnez Calculer la matrice des cofacteurs.
Lisez chaque mineur signé à la position de son élément initial.
Transposez la matrice affichée pour obtenir l'adjointe.

Questions fréquentes sur les cofacteurs

La matrice des cofacteurs est-elle la matrice adjointe ?

Non, l'adjointe classique est la transposée de la matrice des cofacteurs. Il faut échanger lignes et colonnes avant de l'utiliser dans la formule de l'inverse.

Comment calcule-t-on chaque cofacteur ?

Supprimez la ligne et la colonne de l'élément, calculez le déterminant 2×2 restant et appliquez le signe alterné. Le résultat occupe la position initiale.

Une matrice singulière peut-elle avoir des cofacteurs ?

Oui, ils sont définis que le déterminant initial soit nul ou non. Un déterminant nul empêche l'inversion, mais pas le calcul des mineurs signés.

Quel motif de signes utilise une matrice des cofacteurs 3×3 ?

Les signes alternent en damier à partir d'un plus en haut à gauche. Les lignes sont plus-moins-plus, moins-plus-moins et plus-moins-plus.

Comment les cofacteurs donnent-ils l'inverse ?

Transposez la matrice des cofacteurs pour former l'adjointe, puis divisez chaque élément par le déterminant initial. Cela exige un déterminant non nul.