Calculateur de trace de matrice

La trace d'une matrice carrée est la somme des éléments de sa diagonale principale, allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit. Pour une matrice de 2 par 2 dont les éléments diagonaux sont a et d, la trace vaut simplement a plus d. Les éléments hors diagonale ne contribuent pas directement. La trace compte donc parmi les grandeurs matricielles importantes les plus rapides à calculer. La trace n'est définie que pour les matrices carrées, car seules celles-ci possèdent une diagonale principale associant chaque ligne à une colonne correspondante. Le résultat est un scalaire, positif, négatif ou nul. Une trace nulle ne signifie pas que la matrice est nulle ou singulière : les éléments diagonaux positifs et négatifs peuvent simplement se compenser. La trace possède plusieurs propriétés algébriques utiles. Elle est linéaire : la trace de A plus B est égale à la trace de A plus celle de B, et multiplier une matrice par un scalaire multiplie sa trace par ce même scalaire. Elle est également invariante par similitude. Des matrices semblables représentent la même application linéaire dans des bases différentes, tout en ayant la même trace. Celle-ci constitue ainsi une information synthétique indépendante des coordonnées. Une autre identité essentielle indique que la trace du produit A fois B est égale à celle de B fois A, lorsque les deux produits sont définis et carrés. La multiplication matricielle n'est pas commutative, mais la trace autorise cette permutation cyclique. Pour les produits plus longs, on peut déplacer les facteurs cycliquement sans modifier la trace, une propriété courante en statistique, en optimisation et en mécanique quantique. La trace est aussi égale à la somme des valeurs propres de la matrice, comptées avec leur multiplicité algébrique, même lorsqu'elles sont complexes. Elle intervient dans les polynômes caractéristiques, les calculs de divergence, l'analyse de covariance, l'espérance des formes quadratiques et la description des états quantiques. Dans les équations différentielles, elle peut aider à caractériser l'expansion ou la contraction locale d'un système dynamique. Ce calculateur vérifie que toutes les lignes ont la même longueur et que la matrice est carrée, puis additionne directement les éléments diagonaux. Les entiers, les nombres négatifs et les décimaux sont acceptés. Une seule addition par élément diagonal suffit, ce qui permet un calcul immédiat même lorsque la taille de la matrice augmente. La valeur affichée est arrondie uniquement pour éliminer les erreurs négligeables liées aux nombres à virgule flottante.