Calculateur de rang d'une matrice

Le rang d'une matrice est le nombre de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes qu'elle contient. Bien que le rang en lignes et le rang en colonnes soient définis selon des directions différentes, un théorème fondamental de l'algèbre linéaire prouve qu'ils sont toujours égaux. Le rang résume donc en un seul nombre la quantité d'information indépendante portée par la matrice. Une matrice est de rang plein lorsque son rang est égal au plus petit de ses nombres de lignes et de colonnes. Une matrice carrée de rang plein est inversible, possède un déterminant non nul et envoie des vecteurs d'entrée distincts sur des vecteurs de sortie distincts. Une matrice de rang déficient contient des redondances : au moins une ligne ou une colonne peut être obtenue par combinaison des autres. Par exemple, si chaque ligne est un multiple de la première, le rang vaut un, sauf si tous les éléments sont nuls. Ce calculateur détermine le rang par élimination de Gauss avec pivot partiel. Il recherche dans chaque colonne un pivot non nul fiable, place sa ligne à la bonne position par permutation, normalise la ligne du pivot, puis élimine les coefficients de cette colonne dans les autres lignes. Chaque pivot valide ajoute un au rang. Les colonnes sans pivot utilisable sont ignorées, car elles n'apportent aucune direction indépendante. Une petite tolérance numérique empêche les erreurs d'arrondi en virgule flottante de transformer des zéros théoriques en faux pivots. Le rang est directement lié aux systèmes d'équations linéaires. Pour une matrice de coefficients, il compte les contraintes indépendantes. Comparer son rang à celui de la matrice augmentée permet de déterminer si le système n'a aucune solution, une solution unique ou une infinité de solutions. Le théorème du rang indique aussi que le nombre de colonnes est égal au rang plus la dimension du noyau, reliant ainsi l'image d'une transformation à son noyau. En analyse de données, le rang détecte les variables redondantes et sert de base à la réduction de dimension. En théorie du contrôle, il intervient dans les tests de commandabilité et d'observabilité. En géométrie, il donne la dimension de l'espace engendré par un ensemble de vecteurs. Saisissez des matrices rectangulaires ou carrées avec des entiers ou des décimaux. L'entier affiché est compris entre zéro et la plus petite dimension de la matrice, ce qui facilite son interprétation et sa vérification.