Calculateur de développement par cofacteurs

Le développement par cofacteurs, aussi appelé développement de Laplace, exprime le déterminant d'une matrice carrée comme une somme pondérée de déterminants plus petits. On choisit une ligne ou une colonne, on multiplie chaque coefficient par son mineur signé, puis on additionne les produits. Ce calculateur utilise la première ligne d'une matrice 3×3 pour rendre chaque étape facile à examiner, tout en obtenant le même déterminant qu'avec n'importe quelle autre ligne ou colonne. Pour trouver le mineur d'un coefficient, supprimez sa ligne et sa colonne. Dans une matrice 3×3, les valeurs restantes forment une matrice 2×2 dont le déterminant est le produit du coefficient supérieur gauche par l'inférieur droit, moins celui du supérieur droit par l'inférieur gauche. Le cofacteur ajoute un signe alterné au mineur. Sur la première ligne, les signes sont plus, moins, plus. Les valeurs des cofacteurs affichées incluent déjà ces signes. Le déterminant est alors le premier coefficient multiplié par son cofacteur, plus le deuxième multiplié par le sien, plus le troisième multiplié par le sien. Même si l'opération est décrite comme une addition, un cofacteur négatif entraîne naturellement une soustraction. Afficher séparément les mineurs, les cofacteurs signés et les produits finaux facilite le repérage des erreurs arithmétiques et la vérification des calculs à la main. Un déterminant nul signifie que la matrice est singulière. Ses lignes ou colonnes sont linéairement dépendantes, elle n'a pas d'inverse multiplicatif et la transformation linéaire associée réduit la dimension. Un déterminant non nul indique une matrice inversible. Son signe décrit l'orientation, tandis que sa valeur absolue représente le facteur d'échelle des aires ou des volumes sous la transformation linéaire correspondante. Le développement par cofacteurs se généralise aux matrices carrées de toute taille, en réduisant récursivement un déterminant d'ordre n à des déterminants d'ordre n moins un. Pour les grandes matrices denses, les méthodes d'élimination sont plus rapides, mais le développement de Laplace reste particulièrement utile lorsqu'une ligne ou colonne contient beaucoup de zéros. Il est aussi fondamental pour définir les matrices adjugées, les inverses et les polynômes caractéristiques. Ce calculateur dédié aux matrices 3×3 accepte les entiers et les décimales, conserve la précision pendant le calcul et expose tout le développement de la première ligne plutôt qu'un résultat final sans explication.