Calculateur de factorielle

La factorielle d'un entier positif ou nul n est le produit de tous les entiers strictement positifs de n à 1. Elle se note n! : ainsi, 5! signifie 5 fois 4 fois 3 fois 2 fois 1, soit 120. Les factorielles croissent extrêmement vite, car chaque nouvelle valeur multiplie la précédente par un entier toujours plus grand. Même 20! dépasse déjà deux milliards de milliards. Deux cas de base sont particulièrement importants. La valeur de 1! est 1, et les mathématiques définissent 0! comme 1. Le cas zéro peut surprendre, mais il préserve l'identité récursive n! = n fois (n - 1)! et la cohérence des formules de dénombrement. Il existe exactement une façon d'ordonner zéro objet ou de choisir zéro objet dans un ensemble : le dénombrement associé doit donc être un. Les factorielles sont au cœur de la combinatoire. Il existe n! ordres possibles pour n objets distincts. Placer huit livres différents sur une étagère donne 8!, soit 40,320 dispositions possibles. Les combinaisons et permutations utilisent des rapports de factorielles pour compter les sélections selon que l'ordre compte ou non. Les formules de probabilité s'appuient sur ces dénombrements pour étudier les mains de cartes, les sélections de loterie, les plannings et les résultats expérimentaux. La fonction apparaît aussi en algèbre, analyse, statistique et informatique. Les séries de Taylor emploient des factorielles au dénominateur pour représenter notamment l'exponentielle, le sinus et le cosinus. Les lois de Poisson et binomiale contiennent des termes factoriels. L'analyse algorithmique parle de temps factoriel pour les procédures explorant tous les ordres possibles, une croissance qui devient impraticable même avec des entrées modestes. Ce calculateur utilise l'arithmétique entière plutôt que des multiplications en virgule flottante : chaque chiffre affiché est donc exact sur toute la plage prise en charge. La limite de 170 reprend le seuil pratique de l'ancien outil et conserve une sortie lisible, même si l'arithmétique entière peut représenter des résultats plus grands. La factorielle est ici définie uniquement pour les entiers positifs ou nuls. La fonction gamma étend cette idée à de nombreuses valeurs non entières et complexes, mais c'est une autre opération, non évaluée par cet outil. Pour estimer de très grandes factorielles, l'approximation de Stirling relie n! à la racine carrée de deux fois pi fois n, multipliée par (n divisé par e)^n. Elle s'améliore lorsque n augmente, mais un calcul exact reste préférable si l'entier complet est nécessaire. Utilisez le résultat pour le dénombrement, la vérification de formules, les exercices en classe et l'étude de la rapidité avec laquelle la croissance factorielle dépasse la croissance exponentielle ordinaire.