Calculateur de sous-ensembles

Un sous-ensemble est une collection dont tous les éléments appartiennent à un autre ensemble. Si un ensemble contient n éléments distincts, chacun a deux possibilités indépendantes lors de la formation d'un sous-ensemble : être inclus ou exclu. Le produit de ces choix donne 2 à la puissance n sous-ensembles au total. Ce nombre inclut l'ensemble vide et l'ensemble initial lui-même, qui sont tous deux des sous-ensembles selon la définition mathématique usuelle. Certains problèmes demandent uniquement les sous-ensembles contenant exactement k éléments. Leur nombre est le coefficient binomial C(n,k), qui désigne le choix de k éléments parmi n. Sa formule est la factorielle de n divisée par le produit de la factorielle de k et de la factorielle de (n-k). Le calculateur évalue ce même rapport par un produit itératif, évitant des factorielles intermédiaires inutilement énormes et renvoyant un entier exact. Choisir deux élèves parmi cinq donne, par exemple, C(5,2) = 10 paires possibles. Un sous-ensemble strict est un sous-ensemble différent de l'ensemble initial complet. Un ensemble de n éléments possède donc 2 à la puissance n moins 1 sous-ensembles stricts. Certaines sources introductives emploient une convention plus restrictive qui exclut à la fois l'ensemble initial et l'ensemble vide, et parlent de sous-ensembles stricts non vides. Avec cette convention, le nombre vaut 2 à la puissance n moins 2 lorsque n est positif. Ce calculateur suit la définition courante qui admet l'ensemble vide comme strict, tout en excluant toujours l'ensemble initial lui-même. L'ordre ne compte pas dans un sous-ensemble. Choisir Alice et Bob donne le même sous-ensemble que choisir Bob et Alice. C'est ce qui distingue les combinaisons des permutations, où l'ordre crée des résultats différents. Les éléments sont également supposés distincts. Si une liste répète une valeur, supprimez les doublons pour obtenir un véritable ensemble avant de compter n. Le calculateur demande des cardinalités plutôt que des valeurs individuelles, car les noms et les valeurs ne changent pas le dénombrement. Le dénombrement des sous-ensembles intervient en combinatoire, probabilités, informatique, analyse de données et mathématiques discrètes. Il décrit les sélections de variables, comités, états binaires, espaces de recherche et combinaisons d'options. Les nombres augmentent vite : un ensemble de 20 éléments possède déjà 1,048,576 sous-ensembles. Une arithmétique entière exacte évite les erreurs d'arrondi en virgule flottante pour les grandes valeurs. Les entrées sont limitées à des tailles raisonnables pour préserver la réactivité du navigateur, mais les formules restent identiques pour tout ensemble fini.