Calculateur d'orthocentre

L'orthocentre est le point commun aux trois hauteurs d'un triangle. Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire à la droite portant le côté opposé. Tracer les trois hauteurs facilite la lecture de la figure, mais deux suffisent au calcul : dès que deux hauteurs distinctes se coupent, la troisième passe par le même point. Cette concurrence est un théorème fondamental de la géométrie euclidienne. La position de l'orthocentre dépend des angles du triangle. Dans un triangle aigu, les hauteurs se rencontrent à l'intérieur. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit sont déjà des hauteurs perpendiculaires : l'orthocentre est donc le sommet de l'angle droit. Dans un triangle obtus, les hauteurs se coupent à l'extérieur, car au moins deux côtés opposés doivent être prolongés. Une coordonnée extérieure est donc un résultat valide, pas un signe d'échec du calcul. La géométrie analytique traduit la perpendicularité par des produits scalaires. La droite reliant le sommet A au point inconnu H est une hauteur si le vecteur H moins A est perpendiculaire au côté BC. Leur produit scalaire doit être nul. Une seconde équation impose que le vecteur H moins B soit perpendiculaire au côté AC. Développer ces produits donne un système linéaire de deux équations à deux inconnues, les coordonnées x et y de H. Le calculateur résout directement ce système, sans formules de pente nécessitant un traitement particulier des droites verticales. Si les trois points sont alignés, ils ne définissent pas de triangle. Les deux équations des hauteurs n'ont alors pas d'intersection unique, ce qui correspond à un déterminant nul. Le calculateur détecte ce cas et demande des sommets non alignés. Les points répétés sont refusés pour la même raison géométrique. Les coordonnées décimales et négatives sont acceptées : la méthode fonctionne dans tous les quadrants et n'exige pas de côtés parallèles aux axes. L'orthocentre est l'un des quatre centres classiques du triangle. Le centre de gravité est l'intersection des médianes, le centre du cercle inscrit celle des bissectrices et le centre du cercle circonscrit celle des médiatrices. Dans un triangle quelconque, ces points sont distincts. Le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre sont sur la droite d'Euler, avec un rapport simple entre leurs positions. Dans un triangle équilatéral, la symétrie fait coïncider les quatre centres. Ce calculateur est utile en géométrie analytique, pour vérifier des constructions, résoudre des exercices sur les centres du triangle et travailler en infographie. Saisissez soigneusement chaque couple, en associant la bonne abscisse à la bonne ordonnée. Le résultat est arrondi pour l'affichage, mais les équations sont évaluées avec toute la précision flottante de JavaScript. Remplacer les coordonnées inconnues par le résultat dans l'une des équations de produit scalaire permet une vérification directe.