Calculateur de forme échelonnée réduite

La forme échelonnée réduite, souvent abrégée RREF, est une forme normalisée d'une matrice qui rend ses informations essentielles faciles à lire. Une matrice est en RREF si chaque ligne non nulle commence par un 1 de tête, si ce 1 est le seul élément non nul de sa colonne, si les éléments de tête se décalent vers la droite en descendant et si les lignes entièrement nulles sont en bas. Ces conditions donnent à chaque matrice une forme échelonnée réduite unique, même si différentes suites d'opérations permettent de l'obtenir. Ce calculateur applique l'élimination de Gauss-Jordan à une matrice de deux lignes et trois colonnes. Ce format est particulièrement utile pour la matrice augmentée de deux équations linéaires à deux inconnues : les deux premières colonnes contiennent les coefficients et la dernière les constantes. L'algorithme cherche un pivot non nul, échange les lignes si nécessaire, divise la ligne pivot pour ramener le pivot à un, puis annule tous les autres éléments de sa colonne. Il répète ce processus de gauche à droite jusqu'à ce qu'aucun autre pivot ne soit possible. Les opérations élémentaires sur les lignes ne modifient pas l'ensemble des solutions représenté par une matrice augmentée. On peut échanger deux lignes, multiplier une ligne par une constante non nulle ou ajouter un multiple d'une ligne à une autre. Par exemple, la matrice dont les lignes sont [1, 2, 5] et [3, 4, 11] se réduit à [1, 0, 1] et [0, 1, 2]. Interprété comme des équations, le résultat donne directement x égal à 1 et y égal à 2. La RREF révèle aussi les systèmes sans solution unique. Une ligne nulle peut signaler des équations dépendantes et une infinité de solutions lorsqu'au moins une variable est libre et que le système est compatible. Une ligne dont tous les coefficients sont nuls, mais dont la valeur augmentée est non nulle, traduit une contradiction et donc aucune solution. Au-delà des équations, la RREF permet de déterminer le rang, de repérer les colonnes pivots et libres, de tester l'indépendance linéaire et de trouver des bases d'espaces vectoriels. Les valeurs affichées sont arrondies uniquement pour la lisibilité ; l'élimination utilise toute la précision flottante de JavaScript.