Calculateur de polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique rassemble les informations essentielles d'une matrice carrée dans un seul polynôme. Ses racines sont les valeurs propres de la matrice, qui décrivent des directions ou des états multipliés par un facteur sans quitter leur direction linéaire sous la transformation associée. Ce calculateur évalue le polynôme d'une matrice réelle 2 par 2 et fournit aussi sa trace et son déterminant. Pour une matrice dont la première ligne contient a et b et la seconde c et d, le polynôme caractéristique unitaire est p(λ) = det(λI - A). Le développement du déterminant donne λ au carré moins (a + d) fois λ plus (ad - bc). La quantité a + d est la trace, tandis que ad - bc est le déterminant. Pour une matrice 2 par 2, ces deux valeurs déterminent entièrement le polynôme caractéristique. Certains manuels le définissent plutôt par det(A - λI). Pour les matrices d'ordre pair, comme les matrices 2 par 2, cela donne le même polynôme : il n'y a donc ici aucune ambiguïté de signe. En dimension impaire, les deux conventions diffèrent par un signe moins global, mais leurs racines restent identiques. La convention unitaire utilisée ici fixe le coefficient dominant à un et est courante en algèbre linéaire. Les polynômes caractéristiques interviennent dans le calcul des valeurs propres, l'analyse de stabilité, les équations différentielles, les relations de récurrence, la mécanique quantique, les systèmes de commande et la science des données. Une matrice diagonale offre l'exemple le plus simple : ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux et son polynôme est le produit des facteurs λ moins chaque coefficient diagonal. Une racine multiple indique une valeur propre répétée, mais une analyse supplémentaire est nécessaire pour savoir s'il existe assez de vecteurs propres indépendants. Saisissez des entiers ou des décimaux ordinaires, ligne par ligne de gauche à droite. Le calculateur détermine d'abord la trace et le déterminant, puis les insère dans la forme quadratique générale. Les calculs décimaux peuvent être arrondis à l'affichage ; des fractions exactes restent donc parfois préférables dans les démonstrations symboliques. Pour obtenir ensuite les valeurs propres numériques, résolvez l'équation du second degré affichée par factorisation ou avec la formule quadratique.