Calculateur d'étoile

Une étoile régulière alterne des pointes extérieures et des creux intérieurs à intervalles angulaires égaux autour d'un même centre. Trois valeurs déterminent entièrement ce contour symétrique : le nombre de pointes, le rayon extérieur et le rayon intérieur. Le rayon extérieur relie le centre à chaque pointe, tandis que le rayon intérieur relie le centre à chaque creux. Le contour possède ainsi deux fois plus de sommets que de pointes visibles. Le calculateur considère le contour comme un polygone étoilé simple, sans auto-intersection. Il divise la figure en triangles identiques qui se rejoignent au centre. L'angle entre un sommet extérieur et le sommet intérieur suivant vaut pi divisé par le nombre de pointes. La somme des aires des 2n triangles se simplifie en : aire = n fois le rayon extérieur fois le rayon intérieur fois sin(pi/n). Cette méthode est exacte pour toute étoile régulière à rayons alternés. Chaque côté du contour relie un sommet extérieur à un sommet intérieur adjacent. La loi des cosinus donne sa longueur à partir des deux rayons et de l'angle compris : le carré du côté est égal au carré du rayon extérieur plus le carré du rayon intérieur, moins deux fois leur produit multiplié par cos(pi/n). Le contour ayant deux côtés par pointe, le périmètre vaut 2n fois la longueur d'un côté. Les longueurs utilisent la même unité que les rayons, et l'aire utilise l'unité carrée correspondante. Cette géométrie est utile pour les enseignes, écussons, motifs de patchwork, décorations découpées au laser, logos, plans de pavage et exercices scolaires. Modifier le rayon intérieur permet de rendre les pointes plus fines ou plus larges sans changer le diamètre extérieur. Un petit rayon intérieur crée des creux profonds et étroits ; une valeur proche du rayon extérieur donne une forme proche d'un polygone régulier légèrement échancré. Le nombre de pointes doit être un entier au moins égal à trois. Les deux rayons doivent être positifs, et le rayon intérieur doit être inférieur au rayon extérieur. Ce calculateur ne modélise pas un pentagramme auto-intersectant tracé par une suite continue de diagonales ; il mesure le contour plein formé par l'alternance des sommets extérieurs et intérieurs. Avant toute fabrication, conservez une précision suffisante dans les dimensions affichées pour respecter les tolérances du matériau et du procédé.