Calculateur de décomposition polaire

La décomposition polaire écrit une matrice réelle A sous la forme d'un produit QP. Pour une matrice carrée inversible, Q est orthogonale et P est symétrique définie positive. Une matrice orthogonale conserve les longueurs et les angles : elle représente donc une rotation ou une réflexion. Le facteur positif étire l'espace selon des directions principales perpendiculaires, sans ajouter de rotation. C'est l'analogue matriciel de l'écriture d'un nombre complexe non nul comme le produit d'un module par une direction unitaire. Ce calculateur traite les matrices réelles inversibles de deux sur deux. Il forme d'abord la matrice de Gram symétrique, produit de la transposée de A par A. Sa racine carrée positive est P. Pour une matrice définie positive de deux sur deux, cette racine se calcule directement à partir de la trace et du déterminant, sans approximation itérative. Le facteur Q s'obtient ensuite en multipliant A par l'inverse de P. Les coefficients affichés sont arrondis à six décimales, mais les calculs internes conservent la double précision de JavaScript. Les facteurs possèdent des identités utiles pour vérifier le résultat. Le produit de la transposée de Q par Q donne l'identité, aux erreurs d'arrondi près. P est égale à sa transposée et possède des valeurs propres positives. Enfin, Q multipliée par P reconstitue la matrice initiale A. Pour l'identité, les deux facteurs sont l'identité. Si une matrice combine un quart de tour et des mises à l'échelle différentes selon les axes, Q isole le quart de tour et P contient les deux facteurs d'étirement. La décomposition polaire intervient en mécanique, en infographie, en analyse numérique, en optimisation et en statistique. En mécanique des milieux continus, elle sépare la déformation en rotation rigide et étirement pur. En infographie, elle extrait la rotation d'une transformation comportant aussi une mise à l'échelle ou un cisaillement. Le problème de Procruste orthogonal utilise le facteur polaire pour trouver la matrice orthogonale la plus proche. Les algorithmes numériques emploient des itérations polaires lorsque la préservation de la structure géométrique est importante. Une matrice singulière peut aussi admettre une décomposition polaire, mais son facteur orthogonal n'est pas forcément unique et son calcul nécessite des conventions supplémentaires. Ce calculateur se limite aux matrices inversibles afin que P ait un inverse et que la factorisation soit sans ambiguïté. Les matrices très mal conditionnées peuvent amplifier les erreurs flottantes lorsqu'une direction d'étirement est proche de zéro. Utilisez le résultat comme aide pédagogique et numérique, et vérifiez les calculs critiques avec un logiciel adapté à la précision arbitraire ou aux matrices de dimensions supérieures.