Calculateur de décomposition LU

La décomposition LU exprime une matrice carrée A comme le produit de L par U. L est triangulaire inférieure : tous les éléments au-dessus de sa diagonale principale sont nuls. U est triangulaire supérieure : tous les éléments sous sa diagonale principale sont nuls. Dans la convention de Doolittle utilisée ici, tous les éléments diagonaux de L valent un. Le produit des deux facteurs affichés reconstitue la matrice initiale, aux arrondis usuels de virgule flottante près. La factorisation repose sur l'élimination de Gauss. Chaque multiplicateur qui sert normalement à annuler un élément sous un pivot est conservé dans L. La matrice échelonnée qui se forme devient U. Cette organisation conserve le travail d'élimination au lieu de le perdre. Une fois L et U disponibles, la même matrice de coefficients peut servir à résoudre des systèmes avec de nombreux seconds membres différents, bien plus efficacement qu'en recommençant l'élimination à chaque fois. Pour résoudre A × x = b, résolvez d'abord L × y = b par substitution avant, puis U × x = y par substitution arrière. Les systèmes triangulaires sont simples, car chaque équation successive n'introduit qu'une nouvelle inconnue. Les facteurs LU permettent aussi de calculer les déterminants : si L a une diagonale unitaire, le déterminant est le produit des éléments diagonaux de U. L'inversion matricielle et les simulations numériques utilisent également cette structure comme brique de base. Ce calculateur accepte une notation matricielle compacte. Séparez les valeurs d'une ligne par des virgules ou des espaces, et les lignes par des points-virgules. Chaque ligne doit contenir autant d'éléments qu'il y a de lignes, car cette forme de décomposition LU exige une matrice carrée. Les valeurs négatives et décimales sont admises. Les résultats ne sont arrondis que pour l'affichage ; l'élimination utilise l'arithmétique à double précision de JavaScript. L'implémentation utilise une décomposition de Doolittle sans pivotage : chaque pivot rencontré doit donc être non nul. Certaines matrices parfaitement inversibles commencent par un pivot nul et nécessitent une permutation des lignes avant la factorisation. Dans une bibliothèque numérique complète, cette opération est représentée par une matrice de permutation P dans la relation P × A = L × U. En cas d'erreur de pivot, réordonnez les lignes appropriées avant la saisie ou utilisez un solveur avec pivotage. Pour des exemples pédagogiques bien conditionnés et des matrices dont les pivots diagonaux sont utilisables, la factorisation affichée est claire et immédiatement vérifiable.