Calculateur de décomposition QR

La décomposition QR factorise une matrice A en un produit Q fois R. Les colonnes de Q sont orthonormées : chacune a une longueur égale à un et les colonnes distinctes sont perpendiculaires. R est triangulaire supérieure, donc tous les coefficients sous sa diagonale principale sont nuls. Pour une matrice carrée de rang plein, le produit des matrices Q et R affichées reconstitue la matrice initiale, à de petits écarts d'arrondi décimal près. Ce calculateur réalise cette factorisation pour une matrice réelle de 2 par 2. Le calcul applique le procédé classique de Gram-Schmidt aux colonnes de A. Il mesure d'abord la norme euclidienne de la première colonne. En divisant cette colonne par sa norme, on obtient le premier vecteur unitaire de Q ; la norme devient le premier coefficient diagonal de R. Ensuite, la seconde colonne est projetée sur le premier vecteur unitaire. Soustraire cette projection laisse un vecteur perpendiculaire, qui est normalisé pour former la seconde colonne de Q. Le coefficient de projection et la longueur du second vecteur complètent la matrice triangulaire supérieure R. La factorisation QR est un outil central de l'algèbre linéaire numérique. Elle intervient dans l'ajustement par moindres carrés, lorsqu'un système surdéterminé compte plus d'équations que d'inconnues, ainsi que dans les algorithmes de calcul des valeurs propres. Les transformations orthogonales sont intéressantes numériquement, car elles conservent les longueurs et tendent à moins amplifier les erreurs d'arrondi que des manipulations directes. Cette page se limite à deux dimensions pour rendre chaque étape facile à examiner, mais la même orthogonalisation des colonnes s'étend à des matrices rectangulaires plus grandes. Les colonnes saisies doivent être linéairement indépendantes pour que le calculateur produise deux vecteurs unitaires. Une première colonne nulle ne peut pas être normalisée ; si la seconde est un multiple de la première, aucune direction perpendiculaire ne subsiste après soustraction de la projection. Une telle matrice est de rang déficient et n'admet pas la forme QR complète utilisée ici. Les décompositions QR peuvent aussi différer par leurs signes : changer le signe d'une colonne de Q et de la ligne correspondante de R laisse leur produit inchangé. Ce calculateur choisit des longueurs diagonales non négatives dans R, suivant une convention stable et prévisible pour comparer les résultats.