Calculadora de potencias de matrices

Una potencia de matriz repite la multiplicación de matrices, de forma similar a como una potencia ordinaria repite la multiplicación de escalares. Si A es cuadrada, A al cuadrado significa A multiplicada por A, y A al cubo significa A multiplicada por A y de nuevo por A. La multiplicación matricial no consiste en multiplicar elemento por elemento: cada entrada del resultado es el producto escalar de una fila por una columna. Esta diferencia permite describir transformaciones lineales repetidas mediante potencias de matrices. Solo las matrices cuadradas admiten potencias enteras ordinarias, porque la misma matriz debe mantener dimensiones compatibles en cada multiplicación. Un exponente positivo n repite la transformación n veces. Esto aparece en sistemas dinámicos discretos, cadenas de Markov, recorridos en grafos, relaciones de recurrencia, modelos de población y gráficos por computadora. Por ejemplo, una entrada de una matriz de adyacencia elevada a n puede contar los recorridos de longitud n entre dos vértices. La potencia cero de toda matriz cuadrada se define como la matriz identidad del mismo tamaño. La identidad tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto, y multiplicar por ella no cambia la matriz. Esta convención conserva las leyes de los exponentes: por ejemplo, A elevada a m por A elevada a cero es igual a A elevada a m. Una potencia negativa utiliza la matriz inversa. A elevada a menos uno es la inversa de A, y A elevada a menos n es la inversa elevada a n positivo. Esto solo es posible si A no es singular. Si durante la eliminación no se encuentra un pivote distinto de cero, la matriz no tiene inversa y la calculadora indica que la potencia negativa solicitada no está definida. Esta calculadora utiliza exponenciación por cuadrados en lugar de realizar cada multiplicación por separado. Eleva al cuadrado la base actual y utiliza su valor solo cuando el dígito binario correspondiente del exponente es uno. Así reduce las multiplicaciones matriciales de aproximadamente n a aproximadamente el logaritmo de n, lo que permite trabajar con exponentes grandes. Para exponentes negativos, primero calcula la inversa mediante eliminación de Gauss-Jordan con pivoteo parcial. Los resultados se redondean solo al mostrarlos, lo que reduce el ruido de coma flotante sin perder una precisión útil. Introduce enteros o decimales, con comas entre columnas y punto y coma entre filas.