Calculadora de traza de matrices

La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de su diagonal principal, que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha. En una matriz de 2 por 2 con valores diagonales a y d, la traza es simplemente a más d. Los elementos fuera de la diagonal no contribuyen directamente. Por ello, la traza es una de las magnitudes importantes de una matriz que se calculan con mayor rapidez. La traza solo se define para matrices cuadradas, pues únicamente estas tienen una diagonal principal que empareja cada fila con su columna correspondiente. El resultado es un escalar y puede ser positivo, negativo o cero. Una traza nula no implica que la matriz sea nula ni singular; los elementos positivos y negativos de la diagonal pueden simplemente cancelarse. La traza tiene varias propiedades algebraicas útiles. Es lineal: la traza de A más B es igual a la traza de A más la traza de B, y multiplicar una matriz por un escalar multiplica su traza por ese mismo escalar. También es invariante bajo transformaciones de semejanza. Las matrices semejantes representan la misma transformación lineal en bases distintas, pero sus trazas coinciden. Esto la convierte en un resumen útil que no depende de las coordenadas. Otra identidad fundamental establece que la traza del producto A por B es igual a la de B por A, siempre que ambos productos estén definidos y sean cuadrados. La multiplicación de matrices no es conmutativa, pero la traza permite esta reordenación cíclica. En productos más largos, los factores pueden rotarse cíclicamente sin cambiar la traza, una propiedad frecuente en estadística, optimización y mecánica cuántica. La traza también es igual a la suma de los valores propios de una matriz, contados con su multiplicidad algebraica, incluso cuando son complejos. Aparece en polinomios característicos, cálculos de divergencia, análisis de covarianza, valores esperados de formas cuadráticas y descripciones de estados cuánticos. En ecuaciones diferenciales, puede ayudar a caracterizar la expansión o contracción local de un sistema dinámico. Esta calculadora comprueba que todas las filas tengan la misma longitud y que la matriz sea cuadrada, y luego suma directamente los elementos diagonales. Admite enteros, números negativos y decimales. Como solo requiere una suma por elemento diagonal, el cálculo sigue siendo inmediato aunque aumente el tamaño de la matriz. El valor mostrado se redondea únicamente para eliminar errores insignificantes de coma flotante.