Calculadora de normas matriciales

Una norma matricial resume una matriz completa en un número no negativo que describe su magnitud. Cada norma destaca características distintas, por lo que la mejor elección depende del problema estudiado. Las normas son fundamentales en álgebra lineal, análisis numérico, optimización, ciencia de datos e ingeniería: permiten comparar matrices, medir errores y estudiar la convergencia de cálculos iterativos. La norma de Frobenius es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de todas las entradas. Trata la matriz como un único vector largo, lo que resulta intuitivo y requiere poco cálculo. Se usa con frecuencia en errores de aproximación, procesamiento de imágenes y funciones objetivo de aprendizaje automático. Para una matriz con entradas 3 y 4 y todas las demás nulas, la norma de Frobenius es 5, según la conocida relación pitagórica. La norma matricial 1 es la mayor suma de valores absolutos por columna. Se suman los valores absolutos de cada columna y se elige el total mayor. La norma infinito hace lo mismo por filas: suma sus valores absolutos y toma el máximo. Estas normas inducidas son especialmente útiles para estimar cuánto puede amplificar una matriz los errores vectoriales medidos con las normas vectoriales correspondientes. La norma espectral 2 mide el mayor estiramiento producido por la transformación lineal. Equivale al mayor valor singular o, de forma equivalente, a la raíz cuadrada del mayor valor propio del producto de la matriz transpuesta por la original. Esta calculadora estima ese valor propio mediante una iteración de potencias estable. El método es preciso para matrices reales habituales y devuelve cero para la matriz nula. Las cuatro normas solo valen cero para la matriz nula, no cambian al invertir el signo de todas las entradas y cumplen la desigualdad triangular. En general no dan el mismo número, pero se relacionan mediante cotas dependientes de la dimensión. Usa Frobenius para una magnitud global sencilla, la norma 1 para efectos por columna, infinito para efectos por fila y la norma 2 para el estiramiento geométrico. Se admiten entradas positivas, negativas, enteras o decimales y matrices rectangulares.