Calculadora del pequeño teorema de Fermat

El pequeño teorema de Fermat relaciona números primos, potencias y aritmética modular. Su forma estándar afirma que, si p es primo y a no es divisible por p, a^(p - 1) deja resto 1 al dividirse entre p. En notación de congruencias, a^(p - 1) es congruente con 1 módulo p. Para a = 2 y p = 7, el cálculo es 2^6 = 64, y 64 deja resto 1 al dividirse entre 7. Una forma equivalente afirma que a^p es congruente con a módulo p para todo entero a cuando p es primo. También cubre el caso en que p divide a a, porque ambos lados tienen resto cero. La forma estándar requiere que el máximo común divisor de a y p sea 1. La calculadora comprueba la primalidad y esta condición de coprimalidad antes de evaluar la congruencia elegida. Calcular directamente una potencia grande puede producir un número intermedio enorme. Por eso, la herramienta usa exponenciación modular binaria, también llamada exponenciación por cuadrados sucesivos. Eleva repetidamente al cuadrado la base actual y reduce módulo p después de cada multiplicación. Así conserva el resto exacto, evita calcular potencias completas difíciles de manejar y solo necesita un número logarítmico de pasos respecto al exponente. Es un método fundamental en el software criptográfico práctico. El teorema puede demostrar que un número es compuesto: si una base coprima no cumple la congruencia, el módulo propuesto no puede ser primo. Sin embargo, superar una prueba de Fermat no demuestra primalidad. Algunos compuestos la superan para bases concretas, y los números de Carmichael superan la prueba estándar para toda base coprima con ellos. Por eso, las pruebas fiables usan comprobaciones deterministas más fuertes o pruebas como Miller-Rabin con bases cuidadosamente elegidas. El resultado de Fermat sirve en muchas áreas de la teoría de números y la informática. Permite reducir exponentes en cálculos modulares, inspira pruebas de primalidad y contribuye a los fundamentos matemáticos de la criptografía de clave pública. RSA depende más directamente del teorema relacionado de Euler, pero el de Fermat explica el comportamiento de los módulos primos en su núcleo. También se pueden hallar inversos modulares mediante a^(p - 2) módulo p cuando p es primo y a no es cero módulo p. Usa esta calculadora para verificar ejemplos de clase y explorar patrones modulares, no para certificar grandes primos criptográficos. Las entradas se limitan a enteros seguros de JavaScript para comprobar la primalidad de forma fiable, mientras que la exponenciación utiliza aritmética entera exacta. Un resultado satisfactorio confirma que el primo y la base elegidos cumplen la forma seleccionada; por sí solo no demuestra que un candidato compuesto sin comprobar sea primo.