Calculadora de forma escalonada reducida

Transforma una matriz de 2 por 3 a forma escalonada reducida con Gauss-Jordan y lee al instante la solución de un sistema lineal de dos incógnitas.

Calculadora de matrices RREF
Introduce los seis valores de una matriz de 2 por 3 de izquierda a derecha.

Acerca de la forma escalonada reducida

La forma escalonada reducida por filas, abreviada RREF, es una forma estandarizada de una matriz que permite leer fácilmente su información esencial. Una matriz está en RREF si cada fila no nula empieza con un 1 principal, cada 1 principal es el único elemento no nulo de su columna, los elementos principales se desplazan a la derecha al bajar por las filas y las filas completamente nulas quedan al final. Estas condiciones hacen que cada matriz tenga una única forma escalonada reducida, aunque se llegue a ella mediante distintas secuencias de operaciones. Esta calculadora aplica la eliminación de Gauss-Jordan a una matriz de dos filas y tres columnas. Es una forma especialmente útil para representar un sistema ampliado de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: las primeras dos columnas contienen los coeficientes y la última, las constantes. El algoritmo busca un pivote no nulo, intercambia filas si hace falta, divide la fila pivote para convertir el pivote en uno y elimina todos los demás elementos de su columna. Repite el proceso de izquierda a derecha hasta que no puede formar otro pivote. Las operaciones elementales por filas no cambian el conjunto de soluciones de una matriz ampliada. Puedes intercambiar dos filas, multiplicar una fila por una constante no nula o sumar un múltiplo de una fila a otra. Por ejemplo, la matriz con filas [1, 2, 5] y [3, 4, 11] se reduce a [1, 0, 1] y [0, 1, 2]. Interpretada como ecuaciones, indica directamente que x es 1 e y es 2. RREF también revela sistemas sin solución única. Una fila nula puede indicar ecuaciones dependientes e infinitas soluciones si hay al menos una variable libre y el sistema es compatible. Una fila con coeficientes nulos y término ampliado no nulo representa una contradicción y, por tanto, ausencia de solución. Además de resolver ecuaciones, RREF ayuda a determinar el rango, identificar columnas pivote y libres, comprobar independencia lineal y encontrar bases de espacios vectoriales. Los valores mostrados solo se redondean para facilitar la lectura; la eliminación usa toda la precisión de coma flotante de JavaScript.

Ejemplos de RREF

Estas matrices ilustran sistemas con solución única, dependientes y ya reducidos.

Matriz de entradaRREFInterpretación
[1, 2, 5]; [3, 4, 11][1, 0, 1]; [0, 1, 2]La solución única es x = 1 e y = 2.
[1, 2, 3]; [2, 4, 6][1, 2, 3]; [0, 0, 0]La segunda ecuación es dependiente y deja una variable libre.
[1, 0, 4]; [0, 1, -2][1, 0, 4]; [0, 1, -2]La matriz ya está reducida y da x = 4 e y = -2.

Cómo calcular RREF

  1. Introduce cada valor en la fila y columna indicadas.
  2. Usa la tercera columna para las constantes al representar dos ecuaciones lineales.
  3. Selecciona Calcular RREF para aplicar la eliminación de Gauss-Jordan.
  4. Lee los pivotes, las filas nulas y las soluciones en la matriz reducida.

Preguntas frecuentes sobre la calculadora RREF

¿Qué diferencia hay entre REF y RREF?

La forma escalonada exige ceros debajo de cada pivote; la reducida también exige ceros encima. Por eso RREF muestra las soluciones más directamente y es única para cada matriz.

¿RREF permite resolver ecuaciones simultáneas?

Sí. Introduce coeficientes y constantes como una matriz ampliada. Un pivote en cada columna de variable da una solución única que puede leerse en la última columna.

¿Qué significa una fila de ceros?

Significa que una ecuación original no aportaba información independiente. Si una columna de variable no tiene pivote, el sistema compatible tiene al menos una variable libre e infinitas soluciones.

¿Cómo se manejan los valores decimales?

La eliminación usa números de coma flotante de doble precisión. Los valores cercanos a cero se normalizan y los resultados se muestran con hasta ocho decimales para facilitar la lectura.

¿Qué operaciones por filas están permitidas?

Puedes intercambiar filas, multiplicar una fila por un número no nulo o sumar un múltiplo de una fila a otra. Todas conservan el conjunto de soluciones del sistema lineal representado.