Calculadora de expansión por cofactores

La expansión por cofactores, también llamada expansión de Laplace, expresa el determinante de una matriz cuadrada como una suma ponderada de determinantes más pequeños. Se elige cualquier fila o columna, se multiplica cada entrada por su menor con signo y se suman los productos. Esta calculadora utiliza la primera fila de una matriz 3×3 para facilitar la revisión de cada etapa, con el mismo determinante que se obtendría al expandir por cualquier otra fila o columna. Para hallar el menor de una entrada, elimina su fila y su columna. En una matriz 3×3, los valores restantes forman una matriz 2×2 cuyo determinante es el producto del elemento superior izquierdo por el inferior derecho menos el del superior derecho por el inferior izquierdo. El cofactor añade un signo alternante al menor. En la primera fila, los signos son más, menos, más. Los cofactores mostrados ya incluyen esos signos. El determinante es el primer elemento por su cofactor, más el segundo por el suyo, más el tercero por el suyo. Aunque se describe como una suma, un cofactor negativo genera una resta de forma natural. Mostrar por separado los menores, los cofactores con signo y los productos finales ayuda a localizar errores aritméticos y permite comprobar cálculos manuales. Un determinante nulo significa que la matriz es singular. Sus filas o columnas son linealmente dependientes, no tiene inversa multiplicativa y la transformación lineal asociada reduce la dimensión. Un determinante no nulo indica que la matriz es invertible. El signo describe la orientación y el valor absoluto del determinante es el factor de escala del área o el volumen bajo la transformación lineal correspondiente. La expansión por cofactores se generaliza a matrices cuadradas de cualquier tamaño y reduce recursivamente un determinante de orden n a determinantes de orden n menos uno. Para matrices densas grandes, los métodos de eliminación son más rápidos, pero la expansión de Laplace sigue siendo especialmente útil si una fila o columna contiene muchos ceros. También es fundamental para definir matrices adjuntas, inversas y polinomios característicos. Esta calculadora específica para 3×3 admite enteros y decimales, conserva la precisión durante el cálculo y muestra toda la expansión de la primera fila, en lugar de devolver un número final sin explicación.