Calculadora de la paradoja del cumpleaños

La paradoja del cumpleaños plantea qué probabilidad hay de que al menos dos personas de un grupo cumplan años el mismo día. El resultado sorprende porque solemos comparar a una persona concreta con todas las demás. Sin embargo, la pregunta compara todas las parejas posibles. Un grupo de 23 personas contiene 253 parejas, por lo que existen muchas oportunidades de coincidencia aunque el calendario ofrezca 365 cumpleaños posibles. Con el modelo estándar, un grupo de 23 ya tiene una probabilidad ligeramente superior al 50 por ciento de incluir un cumpleaños compartido. La forma más sencilla de calcularlo parte del suceso complementario: que todos tengan cumpleaños diferentes. La primera persona puede cumplir años cualquier día. La segunda debe evitar esa fecha, lo que aporta un factor de 364/365. La tercera debe evitar dos fechas ocupadas, con un factor de 363/365, y la multiplicación continúa para todo el grupo. Restar ese producto de uno da la probabilidad de al menos una coincidencia. En símbolos, P(match) = 1 - (365/365)(364/365)...((365-n+1)/365), donde n es el tamaño del grupo. Esta calculadora utiliza el modelo simplificado convencional. Considera igualmente probables las 365 fechas del calendario, omite el día adicional de los años bisiestos y supone que los nacimientos son independientes. Los registros reales no son perfectamente uniformes: la estacionalidad, los festivos, los partos programados y los patrones demográficos influyen en las tasas diarias de nacimiento. Estas diferencias suelen aumentar un poco las coincidencias, pero el modelo estándar es adecuado para clases de probabilidad, preguntas de entrevistas, demostraciones en el aula y planificación aproximada. La probabilidad aumenta rápidamente. Con 10 personas es de aproximadamente el 11.7 por ciento; con 23, el 50.7 por ciento; con 30, el 70.6 por ciento; y con 50 supera el 97 por ciento. Se necesitan 57 personas para superar el 99 por ciento. Este rápido aumento ilustra un principio general de colisiones utilizado en funciones hash, criptografía, identificadores de bases de datos y control de calidad: al asignar muchos elementos a un número limitado de categorías, las repeticiones se vuelven probables mucho antes de lo que sugiere la intuición. Interpreta el resultado como una probabilidad, no como una predicción de quién coincidirá o qué fecha se repetirá. Una probabilidad del 50.7 por ciento significa que, entre muchos grupos comparables de 23 personas, algo más de la mitad tendría al menos un cumpleaños compartido. Un grupo concreto puede no tener coincidencias, tener una sola pareja o varias fechas repetidas. La calculadora responde exactamente a la pregunta de si habrá al menos una coincidencia, bajo los supuestos anteriores.