Calculadora de la paradoja de las cajas de Bertrand

La paradoja de las cajas de Bertrand es un acertijo clásico de probabilidad condicional. En su forma habitual, tres cajas contienen dos monedas cada una: una tiene dos de oro, otra una de oro y una de plata, y otra dos de plata. Se elige una caja uniformemente, se extrae una moneda uniformemente y se observa que es de oro. La pregunta es qué probabilidad hay de que la moneda no vista de esa caja también sea de oro. Una intuición rápida, pero incorrecta, responde la mitad porque solo siguen siendo posibles las cajas oro-oro y oro-plata. El detalle que falta es que esas cajas no son igual de probables tras observar oro. La caja oro-oro ofrece dos resultados que producen esa observación, mientras que la oro-plata solo ofrece uno. De los tres resultados de oro equiprobables, dos pertenecen a la caja oro-oro. Por tanto, la probabilidad condicional de que la otra moneda sea de oro es 2/3, aproximadamente 66.67%. La observación cambia la probabilidad relativa de las cajas: esa es la enseñanza central de la paradoja. La calculadora generaliza el problema al permitir varias cajas de cada tipo. Si hay G cajas oro-oro y M cajas oro-plata, existen 2G resultados de oro en el primer grupo y M en el grupo mixto. Dado que se observó oro, la probabilidad de haber elegido una caja oro-oro es 2G dividido entre 2G + M. Las cajas plata-plata no aparecen en la fórmula porque no pueden producir la observación de oro, aunque forman parte del experimento antes de ver una moneda. El acertijo ilustra de forma breve el teorema de Bayes, los efectos de selección y la importancia de contar resultados según la evidencia. Se asemeja a la interpretación de pruebas médicas, el muestreo de control de calidad y otras situaciones donde una observación es más probable bajo una causa oculta que bajo otra. La respuesta depende de los supuestos de muestreo: todas las cajas deben tener la misma probabilidad de elección y ambas monedas de una caja deben tener la misma probabilidad de extracción. Si las probabilidades difieren, hay que incluir explícitamente sus pesos. Cambia las cantidades para ver cómo duplicar tipos de caja modifica la probabilidad posterior sin alterar el razonamiento condicional.