Rechner für das polare Flächenträgheitsmoment

Das polare Flächenträgheitsmoment, meist mit J bezeichnet, beschreibt die Verteilung der Querschnittsfläche um eine zur Fläche senkrechte Achse. Seine Dimension ist Länge hoch vier. Ein größerer Wert bedeutet, dass mehr Fläche weiter von der Polachse entfernt liegt. Das verbessert bei kreisförmigen Wellen in der Regel den Widerstand gegen Torsionsspannung und Verdrehung. Dieser Rechner erwartet Maße in Metern und gibt J in Metern hoch vier aus. Für einen Vollkreis mit Durchmesser d gilt J = πd⁴ / 32. Für einen Hohlkreis mit Außendurchmesser D und Innendurchmesser d gilt J = π(D⁴ - d⁴) / 32. Die Abhängigkeit von der vierten Potenz erklärt, warum eine Materialverteilung nach außen so wirksam ist: Eine Hohlwelle kann bei geringerem Materialeinsatz als eine Vollwelle ähnlichen Außendurchmessers einen erheblichen Teil ihrer Torsionsleistung bewahren. Der Innendurchmesser muss kleiner als der Außendurchmesser bleiben, und alle Maße müssen dieselbe Einheit verwenden. Bei jeder ebenen Fläche ist das polare Flächenträgheitsmoment um einen Punkt gleich der Summe der beiden Flächenträgheitsmomente um senkrecht zueinander stehende Achsen durch diesen Punkt: J = Ix + Iy. Für ein Rechteck mit Achse durch den Schwerpunkt ergibt sich J = bh(b² + h²) / 12. Dieses polare Flächenträgheitsmoment entspricht jedoch im Allgemeinen nicht der Saint-Venantschen Torsionskonstante zur Berechnung von Verdrehung und Torsionsschubspannung nicht kreisförmiger Stäbe. Die Unterscheidung ist wichtig, weil nicht kreisförmige Querschnitte unter Torsion verwölben. Der Rechner kennzeichnet das Rechteckergebnis als polares Flächenträgheitsmoment; es darf nicht ungeprüft in eine Wellenverdrehungsformel eingesetzt werden. Für kreisförmige Wellen gelten in der elastischen Torsion unter anderem die maximale Schubspannung τmax = Tr / J und der Verdrehwinkel θ = TL / (GJ). Dabei sind T das Drehmoment, r der Außenradius, L die Wellenlänge und G der Schubmodul. Vorausgesetzt werden ein homogenes linear-elastisches Material, kleine Verformungen, eine gleichmäßige Kreisgeometrie und Belastung um die Längsachse durch den Schwerpunkt. Passfedernuten, Verzahnungen, Risse, abrupte Durchmesseränderungen und Spannungskonzentrationen erfordern zusätzliche Analysen. Verwenden Sie die Maße des tatsächlich tragenden Querschnitts und achten Sie auf einheitliche Einheiten. Bei Eingaben in Millimetern entspricht das numerische Ergebnis Millimetern hoch vier statt Metern hoch vier; rechnen Sie es vor dem Vergleich mit einer SI-Berechnung um. Nutzen Sie das Ergebnis für Übungen, Vorbemessungen und Formelprüfungen. Eine detaillierte Maschinenkonstruktion muss zusätzlich Festigkeit, Ermüdung, Durchbiegung, Fertigungstoleranzen, Spannungskonzentrationen und die passende Torsionstheorie für die gewählte Form berücksichtigen.