SVD-Rechner

Die Singulärwertzerlegung, meist als SVD abgekürzt, zerlegt eine reelle Matrix in drei speziell strukturierte Matrizen. In der üblichen Gleichung entspricht die ursprüngliche Matrix dem Produkt aus U, Sigma und V transponiert. U und V sind orthogonale Matrizen; ihre Spalten bilden daher senkrechte Einheitsrichtungen. Sigma ist diagonal und enthält nichtnegative Singulärwerte in absteigender Reihenfolge. Dieser Rechner führt die Zerlegung für jede reelle Zwei-mal-zwei-Matrix durch. Die Berechnung beginnt mit der symmetrischen Matrix, die durch Multiplikation der transponierten Eingabematrix mit der Eingabematrix entsteht. Ihre Eigenwerte sind bis auf winzige Gleitkommaeffekte stets nichtnegativ. Die Quadratwurzeln dieser Eigenwerte sind die Singulärwerte, und die normierten Eigenvektoren bilden die Spalten von V. Multipliziert man die ursprüngliche Matrix mit jedem rechten Singulärvektor und dividiert durch den zugehörigen von null verschiedenen Singulärwert, erhält man die entsprechende Spalte von U. Ist ein Singulärwert null, ergänzt der Rechner deterministisch eine Orthonormalbasis, damit die angezeigten Faktoren gültig bleiben. Singulärwerte beschreiben, wie stark eine Matrix den Raum entlang besonderer Richtungen streckt. Ein großer erster und ein deutlich kleinerer zweiter Wert zeigen, dass sich der Großteil der Transformation auf eine Richtung konzentriert. Ein zweiter Wert von null bedeutet, dass die Matrix Rang eins oder null hat und die Ebene auf eine Gerade oder einen Punkt abbildet. Das Verhältnis des größten zum kleinsten von null verschiedenen Singulärwert hängt mit der numerischen Konditionierung zusammen. Diese Seite zeigt jedoch die Zerlegung selbst und keine Konditionszahl. SVD wird bei der Methode der kleinsten Quadrate, Pseudoinversen, Dimensionsreduktion, Bildkompression, Empfehlungssystemen, Signalverarbeitung und Rauschfilterung eingesetzt. Anders als eine Eigenwertzerlegung existiert sie für jede reelle Matrix und ist nicht auf symmetrische oder quadratische Eingaben beschränkt. Dieser Phase-1-Rechner begrenzt die Eingabe bewusst auf Zwei-mal-zwei-Matrizen, um eine kompakte, nachvollziehbare Implementierung ohne Abhängigkeiten und mit vorhersehbarer Formatierung zu ermöglichen. Die zugrunde liegenden Ideen lassen sich jedoch direkt auf rechteckige Matrizen beliebiger Größe übertragen. Ergebnisse werden auf sechs Nachkommastellen gerundet; überflüssige Nullen entfallen. Orthogonale Faktoren sind mathematisch nicht eindeutig: Die Vorzeichen entsprechender Spalten von U und V können gleichzeitig umgekehrt werden, ohne das Produkt zu ändern. Wiederholte Singulärwerte erlauben zudem weitere Drehungen innerhalb eines Unterraums. Deshalb kann ein anderes zuverlässiges SVD-Paket andere Vorzeichen oder Basisvektoren anzeigen und dennoch exakt dieselbe Eingabe rekonstruieren. Dieser Rechner wählt eine einheitliche Orientierung, sodass wiederholte Eingaben und feste Referenzbeispiele stabile Ergebnisse liefern.