Pseudoinverse-Rechner

Die Moore-Penrose-Pseudoinverse erweitert die Idee der Matrixinversen auf rechteckige Matrizen und Systeme ohne gewöhnliche eindeutige Inverse. Sie wird A+ geschrieben und ist die einzige Matrix, die vier Konsistenzbedingungen mit A, A+ und ihren Transponierten erfüllt. Bei einer invertierbaren quadratischen Matrix stimmt sie exakt mit der gewöhnlichen Inversen überein. Bei hohen oder breiten Matrizen mit vollem Rang liefert sie die natürliche inversenähnliche Transformation für Berechnungen kleinster Quadrate und minimaler Norm. Der Rechner nimmt eine zeilenweise geschriebene Matrix entgegen. Trennen Sie Einträge durch Kommas oder Leerzeichen und Zeilen durch Semikolons. Bei mindestens so vielen Zeilen wie Spalten und unabhängigen Spalten berechnet er die Inverse von (A transponiert A), multipliziert mit A transponiert. Bei mehr Spalten als Zeilen und unabhängigen Zeilen berechnet er A transponiert, multipliziert mit der Inversen von (A A transponiert). Beide Formeln sind Standardformen der Moore-Penrose-Inversen für vollen Rang. Die benötigte quadratische Inverse wird per Gauß-Jordan-Elimination mit Pivotisierung berechnet. Eine typische Anwendung ist ein überbestimmtes lineares System A x = b mit mehr Gleichungen als Unbekannten, bei dem kein Vektor alle Gleichungen exakt erfüllt. Die Multiplikation von b mit A+ liefert die Kleinste-Quadrate-Lösung mit minimaler quadrierter Residualnorm. In einem unterbestimmten System mit vollem Zeilenrang liefert A+ die exakte Lösung mit kleinster euklidischer Norm. Dadurch sind Pseudoinversen in Regression, Signalverarbeitung, Regelung, Robotik, numerischer Optimierung, Datenanpassung und maschinellem Lernen nützlich. Der Rang ist entscheidend. Die praktischen Normalgleichungsformeln setzen unabhängige Spalten oder Zeilen voraus. Bei Rangdefizienz wird A transponiert A oder A A transponiert singulär. Daher meldet diese Implementierung die Einschränkung, statt instabile Werte auszugeben. Eine allgemeine Singulärwertzerlegung kann Rangdefizienz behandeln, indem nur Singulärwerte oberhalb einer numerischen Toleranz invertiert werden. Verwenden Sie für große, schlecht konditionierte oder rangdefiziente Probleme eine spezielle numerische Bibliothek mit SVD-Verfahren und prüfen Sie deren Toleranzeinstellungen. Auch Gleitkommaarithmetik beeinflusst die Ergebnisse. Angezeigte Einträge werden auf sechs Nachkommastellen gerundet, intern bleibt die doppelte Genauigkeit von JavaScript erhalten. Große Skalenunterschiede können Rundungsfehler verstärken, weil Normalgleichungen die Konditionszahl quadrieren. Eine Skalierung der Spalten kann helfen; professionelle numerische Berechnungen sollten jedoch QR- oder SVD-Methoden bevorzugen. Für Unterrichtsbeispiele und kleine Matrizen mit vollem Rang lässt sich die Pseudoinverse mit diesem Rechner nachvollziehbar ermitteln, ohne mehrere Matrixprodukte und Eliminationsschritte von Hand auszuführen.